12、离散空间是否为A2空间?说出你的理由. 13、试说明实数空间R是可分空间.
14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理. 15、设X是一个T1空间，试说明X的每一个单点集是闭集.
16、设X是一个拓扑空间，若X的每一个单点集都是闭集，试说明X是一个T1空间. 17、设(X,T)是一个T1空间，?是任何一个不属于X的元素.令X*?X?{?}和
T*?T?{X*}，试说明拓扑空间(X*,T*)是一个T0空间.
18、若X是一个正则空间，试说明：对?x?X及x的每一个开邻域U，都存在x的一个开邻域V,使得V?U.
19、若X是一个正规空间，试说明：对X的任何一个闭集A及A的每一个开邻域U，都存在A的一个开邻域V,使得V?U.
20、试说明T1空间X的任何一个子集的导集都是闭集. 21、试说明紧致空间X的无穷子集必有凝聚点. 22、如果X?Y是紧致空间，则X是紧致空间. 23、如果X?Y是紧致空间，则Y是紧致空间.
24、试说明紧致空间X的每一个闭子集Y都是紧致子集. 六、证明题（每题8分）
Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f(X)是Y的一个连通1、设f:X?子集.
2、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的开集使得Y?A?B,则或者Y?A,或者Y?B.
3、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的闭集使得Y?A?B,则或者Y?A,或者Y?B. 4、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z?X满足Y?Z?Y，则Z也是X的一个连通子集.
5、设{Y?}???是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族.如果
Y??????,则
Y????是X的一个连通子集.
6、设A是拓扑空间X的一个连通子集，B是X的一个既开又闭的集合.证明：如果
A?B??,则A?B.
7、设A是连通空间X的非空真子集. 证明:A的边界?(A)??.
8、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X不满足第一可数性公理. 9、设X是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X不满足第一可数性公理.
17
10、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个满的连续开映射.X满足第二可数性公
理，证明：Y也满足第二可数性公理.
11、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个满的连续开映射.X满足第一可数性公理，证明：Y也满足第一可数性公理.
12、A是满足第二可数性公理空间X的一个不可数集。求证：A至少有一个凝聚点. 13、证明满足第二可数性公理的空间中每一个由两两无交的开集构成的集族都是可数
族. 14、设X是一个T1空间,A?X,x?d(A),证明：x的每一个邻域U中都含有A中的无限
多个点.
15、设X是一个T1空间,A?X,x?d(A),证明：对x的每一个邻域U有U?A是无限集. 16、设{xi}是T2空间X的一个收敛序列,证明：{xi}的极限点唯一.
17、设X是一个拓扑空间，证明X是hausdorff空间当且仅当积空间X?X的对角线
??{(x,x)?X?X|x?X}是一个闭集.
18、设X是Hausdorff空间，f:X?X是连续映射.证明A?{x?X|f(x)?x}是X的
闭子集.
19、设X是一个正则空间，A是X的闭子集,x?A，证明：x和A分别有开邻域U和V使得U?V??.
20、设X是一个正规空间，A ，B是X的两个无交的闭子集.证明：A和B分别有开邻
域U和V使得U?V??.
21、设X是一个拓扑空间，[0,1]是闭区间，若对X的任何两个无交的闭集A,B都存在
一个连续映射f:X?[0,1],使得当x?A时，f(x)?0,当x?B时，f(x)?1.证明：
X是一个正规空间.
22、若T4空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一个不可数集. 23、X是T4空间，B为X的一个拓扑基，则对于每一个B?B及x?B,都有一个B1?B
使得x?B1?B.
24、设X为Hausdorff空间 ,f:X?X是一个连续映射, 且f?f?f．证明:f(X)是X的闭集．
25、设X是T1空间，A是X的至少含有两点的连通子集，则A一定是无 限集．
18
26、若拓扑空间的每一个紧致子集都是闭集，则X的每个收敛序列{xi} 的极限点唯一. 27、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个连续映射.如果A是X的一个紧致子集，证明f(A)是Y的一个紧致子集.
28、设X是一个正则空间，A是X的一个紧致子集，Y?X.证明：如果A?Y?A,则Y也是X的一个紧致子集.
29、设X是一个正则空间，A是X的一个紧致子集.证明：A也是X的一个紧致子集. 30、设X是一个Hausdorff空间，A 是它的一个非空集族，由X的紧致子集构成，证明：
A?AA是X的一个紧致子集.
31、设f:X?Y是连续的一一对应，其中X是紧致空间，Y是一个Hausdorff空间，证明f:X?Y是一个同胚映射.
32、Y是拓扑空间X的子空间，A是Y的紧致子集，证明A是X的紧致子集. 33、Y是拓扑空间X的子空间，若A是X的紧致子集，证明A是Y的紧致子集. 34、设X是一个Hausdorff空间.如果A是X的一个不包含点x?X的紧致子集，则点x和紧致子集A分别有开邻域U,V使得U?V??. 35、证明Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭子集. 36、证明每一个紧致的Hausdorff空间都是正则空间．
37、设X是一个Hausdorff空间．如果A,B是X的两个无交的紧致子集，则它们分别
有开邻域U和V使得U?V??．
19
