实用标准
答案：（A）
解答： 若X,Y独立则有
??P(X?2,Y?2)?P(X?2)P(Y?2)
12311111121 18 3 ?(????)(??)?(??) 6 93939112??????2133 ???， ?? 99111????29181
5．设总体X的数学期望为?,X1,X2,L,Xn为来自X的样本，则下列结论中 正确的是
（A）X1是?的无偏估计量. （B）X1是?的极大似然估计量. （C）X1是?的相合（一致）估计量. （D）X1不是?的估计量. （ ）
答案：（A） 解答：
EX1??，所以X1是?的无偏估计，应选（A）.
三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率
为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02， 求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；
（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.
解：设A?‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B?‘任取一产品确是合格品’
则（1） P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)
?0.9?0.95?0.1?0.02?0.857. （2） P(B|A)?
四、（12分）
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X为途中遇到红灯的次数， 求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.
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故应选（A）.
P(AB)0.9?0.95??0.9977.
P(A)0.857实用标准
解：X的概率分布为
P(X?k)?C3()()k25k353?kk?0,1,2,3.
23612538 125X 即 X的分布函数为
P027125154125x?0,?0,?27?,0?x?1,?125??81,1?x?2, F(x)???125?1172?x?3,?125,?x?3.?1,?26 EX?3??,
552318 DX?3???.
5525五、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域D?{(x,y)|x?0,y?0,x?y?1} 上服从
均匀分布. 求（1）(X,Y)关于X的边缘概率密度；（2）Z?X?Y的分布函数与概率密度.
解： y （1）(X,Y)的概率密度为 1
x+y=1 D D1 ?2,(x,y)?D f(x,y)??0,其它.?x 0 z 1 fX(x)?x+y=z
（2）利用公式fZ(z)? 其中f(x,z?x)????????????2?2x,0?x?1f(x,y)dy??
0,其它??f(x,z?x)dx
?2,0?x?1,0?z?x?1?x?2,0?x?1,x?z?1.??
?0,其它?0,其它. 当 z?0或z?1时fZ(z)?0 z z=x 0?z?1时 fZ(z)?2?z0dx?2x0?2z
z文档 x 实用标准
故Z的概率密度为
??2z,0?z?1, fZ(z)??
??0,其它. Z的分布函数为
z?0?0,?0,z?0,?zz?? fZ(z)??fZ(y)dy???2ydy,0?z?1??z2,0?z?1,
??0??1,z?1.?z?1??1, 或利用分布函数法
?z?0,?0,? FZ(z)?P(Z?z)?P(X?Y?z)????2dxdy,0?z?1,
?D1?1,z?1.??0,? ??z2,?1,?z?0,0?z?1, z?1.?2z,?0,0?z?1,其它.
fZ(z)?FZ?(z)??
六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相
互独立，且均服从N(0,2)分布. 求（1）命中环形区域D?{(x,y)|1?x?y?2}的概率；（2）命中点到目标中心距离Z?
解： y （1）P{X,Y)?D}?222X2?Y2的数学期望.
??f(x,y)dxdy
D ?0 1 2 x 1e??2??4D?x2?y28dxdy?18?r282??02?21e?r28rdrd?
??
（2）EZ?E(X?Y)?22?21e?r28rd(?)??e82??e?e；
1?18?12????r28??????x2?y2?1e?04???1e8??x2?y28dxdy
?18???02???0re?rdrd??r28r2dr
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?? ??re
r2?8??0??0e?r282?dr?2?????1?8edr?2?. 2?r2七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）X~N(?,?)，今抽取容量为16的
样本，测得样本均值x?10，样本方差s?0.16. （1）求?的置信度为0.95的置信
22区间；（2）检验假设H0:??0.1（显著性水平为0.05）.
2 （附注）t0.05(16)?1.746,t0.05(15)?1.753,t0.025(15)?2.132,
222 ?0.05(16)?26.296,?0.05(15)?24.996,?0.025(15)?27.488.
解：（1）?的置信度为1??下的置信区间为 (X?t?/2(n?1)s,nX?t?/2(n?1)s) n X?10,s?0.4,n?16,??0.05,t0.025(15)?2.132
所以?的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）
222 （2）H0:??0.1的拒绝域为????(n?1).
15S22(15)?24.996 ?15?1.6?24，?0.05 ??0.122 因为 ??24?24.996??0.05(15)，所以接受H0.
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《概率论与数理统计》期末考试试题（A）
专业、班级： 姓名： 学号： 一、单项选择题(每题3分 共18分)
1．D 2．A 3．B 4．A 5．A 6．B 题 号 得 分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总成绩 文档