圆锥曲线是历年高考的重点内容，常作为高考数学卷的压轴题。 1. 从命题形式上看，以解答题为主，难度较大。
2. 从命题内容上看，主要考查求圆锥曲线的标准方程、求动点的轨迹方程、根据方程求最值、求参数的取
值范围、证明定点、定值、探索存在性等。
3. 从能力要求上看，主要考查数学思想方法（如数形结合、分类讨论等）的运用能力。分析问题和解决问题的能力及运算能力。 一、圆锥曲线的常用性质
x2y21. 关于椭圆2?2?1(a?b?0)的补充性质（常在解题中遇到）：
ab2b2① 经过焦点F1或F2的椭圆的弦AB，当AB?x轴时，AB最短，且AB ?mina
② 过焦点的直线交椭圆于P,Q两点，点M是x轴上一定点，则当PQ?x轴时，?MPQ的面积最大。 ③ 设右（左）准线与x轴交于点E，过E点的直线与椭圆交于P,Q两点，点P?与点P关于x轴对称，则直线P?Q一定过椭圆的右（左）焦点F。
一般地，设P,Q是椭圆上两动点，直线PQ交x轴于点E(x1,0)，点P?与点P关于x轴对称，直线P?Q交x轴于点F(x2,0)，则x1x2?a2为定值。
④ 设点P是椭圆右（左）准线上任一点（不在x轴上），A1,A2是椭圆的左、右顶点，直线A1P,A2P,与椭圆分
别交于M,N两点，则直线MN一定过椭圆的右（左）焦点。 反之，过椭圆右（左）焦点F的直线交椭圆于M,N两点，则直线A1M,A2N的交点P在椭圆的右（左）准线上。。
⑤ 设A1,A2是椭圆的左、右顶点，B1,B2是椭圆的上、下顶点，P是椭圆上异于顶点的任一点，则
b2kPA1?kPA2?kPB1?kPB2??2为定值。
a 一般地，设过椭圆中心的直线交椭圆于M,N两点，P是椭圆上异于M,N的任一点，则b2kPM?kPN??2为定值。
a⑥ 存在以坐标原点O为圆心的圆，使得圆的任一切线与椭圆交于P,Q两点，满足OP?OQ，且圆的方程为
ba2b2ab；反之，若OP?OQ，则O点到直线PQ的距离为定值. 当kPQ??时，x?y?2aa?b2a2?b222|PQ|取得最大值a2?b2；当kPQ?0或PQ?x轴时，|PQ|取得最小值⑦ 设ABCD是椭圆的内接矩形，则矩形ABCD的最大面积为2ab.
⑧已知点P在椭圆上，设?F1PF2??，则焦点三角形?PF1F2的面积S?b2tan2aba?b22。.
?2。
x2y22. 双曲线2?2?1(a?0,b?0)的补充性质（在解双曲线问题时常遇到）：
abb① 平行于渐近线（斜率为?）的任一条直线与双曲线有唯一交点.
abb②若斜率为k的直线与双曲线的两支各交于一点，则??k?，若直线只与双曲线的同一支相交于两点，
aabb则k??或k?（在??0的前提下，反之也成立）.
aaa2b2③双曲线上任一点到两条渐近线的距离的乘积为定值
22a?b.
1
2b2④ 当焦点弦AB?x轴时，AB?，是同一支上所有焦点弦中的最短者。
2a⑤在焦点三角形?PF1F2中，设?F1PF2??，则焦点三角形?PF1F2的面积S?b2cot 2⑥设P是双曲线右（左）支上任一点，则?PF1F2的内切圆与x轴的切点为双曲线的右（左）顶点。
?y2x2x2y2⑦双曲线??1(a?0,b?0)和2?2?1(a?0,b?0)称为共轭双曲线
a2b2ba共轭双曲线的性质：⑴渐近线相同 ； ⑵1?1?12e12e2
3. 抛物线的常用性质（常在解题中遇到）：
p1）抛物线的焦点性质：已知抛物线C:y2?2px(p?0)，过焦点F(,0)的直线交C于两点A(x1,y1),B(x2,y2)，分
2别过A,B作准线l的垂线，垂足分别为A1,B1，设直线AB的倾斜角为?，则：
p2①x1x2?，y1y2??p2
.4②AB?x1?x2?p .③AB?2p?，当??时，AB的最小值为2p
。sin?2④1?1?2
AFBFp.
⑤A,O,B1三点共线；A1,O,B三点共线。 ⑥ 以AB为直径的圆与直线l相切。 ⑦ 以A1B1为直径的圆过焦点F。
（2）抛物线的补充性质：
⑴ 设A,B是抛物线C:y2?2px(p?0)上两动点，且满足OA?OB，（O为坐标原点），则直线AB经
过x轴上的定点M(2p,0)。反之，也成立。
⑵ 设抛物线C:y2?2px(p?0)的准线l交x轴于点E，过E点的直线交抛物线于A,B两点，A?是点A关
于x轴的对称点，则直线A?B过抛物线的焦点F.
⑶ 过x轴上的定点M(m,0)的直线l与抛物线y2?2px(p?0)) 交于两点A(x1,y1),B(x2,y2)，则
x1x2?m2,y1y2??2pm（定值）。
⑷（抛物线的切线） 设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2?0)是抛物线x2?2py(p?0)上两动点，分别过A,B两
点作抛物线的切线相交于点M(x0,y0)，则有：
2x1x12x2x2 ① 切线AM,BM的方程分别为：y?，y?。 x?x?p2pp2p ② 切线的交点坐标为M(
x1?x2x1x2,)。 22p2
③ 直线AB的斜率为：kAB?x0 。 p ④ 若直线AB与y轴交于点P(0,a)，则M(x0,?a)。
二、圆锥曲线常见题型及解题思路方法。 1. 求圆锥曲线的标准方程
先判断焦点的位置，设出相应圆锥曲线的方程，再根据已知条件和圆锥曲线的性质列方程（组）（如求椭圆方程，就是根据条件和性质列出关于a,b,c的方程组），求出待定参数。在解方程（组）求a，b时，要注意考题中经常出现的几种方程的形式，对于复杂的方程（组），常常是观察——猜想——验证，得出a，b的值。
2. 求椭圆（或双曲线）的离心率或离心率的取值范围
c 求离心率就是根据条件和圆锥曲线的性质，寻找a,b,c之间的等量关系，求出的值。在椭圆中，有：
ae?bcbcb?1?()2；在双曲线中，有：e??1?()2。能求出，也就求得了离心率。在双曲线中，
aaaaa还要注意渐近线与离心率的关系。
求离心率的取值范围就是根据条件和圆锥曲线的性质寻找a,b,c之间的不等关系。关于不等式的来源，通常是依据已知不等式，同时还要注意圆锥曲线
中 几个常用的不等关系：①圆锥曲线上点的坐标的范围；②在椭圆中，有?F1BF2??F1PF2，（其中B为短轴的端点，P为椭圆上任一点）a?c?PFi?a?c(i?1,2)；③在双曲线中，有PF?AF（其中F为焦点，P为双曲线上任一点，A是同一支双曲线的顶点）。
解这类问题时，要尽可能地结合图形，依据定义，多从几何角度思考问题。如果涉及直线与圆锥曲线位置关系问题，还要联立方程，用坐标法找关系。 3. 在圆锥曲线中判断点与圆的位置关系
除常规方法外（比较点到圆心的距离与半径的大小），通常用向量法。例如，已知直线与圆锥曲线交于A,B两点，要判断点P与以AB为直径的圆的位置关系，只需确定?APB的大小，通过计算PA?PB，确定其符号。 4. 证明定点，定值，定直线问题
可先取参数的特殊值（或图形的特殊位置），对定点，定值，定直线进行探求，然后证明当参数变化时，结论成立。
证明直线过定点，有两种思路：①求出满足条件的动直线方程（只含一个参数），再根据方程求出定点；② 先探求定点，再设出要证明的定点的坐标（如设动直线与x轴交于点(m,0)，把坐标表示出来，表示式中，往往会含有x1?x2,x1x2（或y1?y2,y1y2），用所求得的结果代入，就可得出坐标为定值。 证明定点、定值、定直线问题，还可利用圆锥曲线中定点、定值、定直线的性质，将问题进行转化。 5. 直线与圆锥曲线的位置关系问题
这类问题是平面解析几何中的重点问题，常涉及直线和圆锥曲线交点的判断，弦长，面积，对称，共线等问题
处理问题的基本方法有两种：
（1）联立方程法：解题步骤是：先设交点A(x1,y1),B(x2,y2)，再设直线方程，联立直线方程与圆锥曲线方程构成方程组，消元，求x1?x2,x1x2，（或y1?y2,y1y2），令??0（如果直线经过曲线内的点，可以省去这一步），再根据问题的要求或求距离，或求弦长，或求点的坐标，或求面积等。
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（2）点差法：设交点为A(x1,y1),B(x2,y2)及AB的中点M(x0,y0)，将A、B两点的坐标代人圆锥曲
y?y2线方程，作差变形，可得：1即kAB?f(x0,y0)，再由题设条件，求中点坐标M(x0,y0)，?f(x0,y0)，
x1?x2根据问题的条件和要求列式。
值得注意的是，用联立方程法，设直线方程时，为简化运算，可采用这种的策略，若直线过x轴上的定点P(a,0)，则直线方程可设为ky?x?a（此直线不包括x轴），联立方程，消去x，得到关于y的方程，求出y1?y2,y1y2备用。有时，还要根据y1?y2,y1y2，求出x1?x2,x1x2。若直线过y轴上的定点Q(0,b)，则直线方程可设为y?kx?b（此直线不包括y轴），联立方程，消去y。
对于直线y?kx?m，无特殊交代时，通常注意分两种情况：①直线的斜率存在，消元后，注意??0；②直线的斜率不存在，即直线为x?t(t?R)。
在涉及到弦的中点及斜率时，求参数（如直线的斜率k）的取值范围，通常采用点差法。 6. 最值问题
这类问题是从动态角度研究解析几何中的有关问题，往往涉及求弦长（或距离）、面积、坐标（或
截距）、向量的模（或数量积）、参数等的最大（小）值。
其解法是：设变量，建立目标函数。处理的方法有： （1）利用基本不等式； （2）考察函数的单调性； （3）利用导数法； （4）利用判别式法。
在目标函数的变形上有一定的技巧，关于弦长，面积表达式的变形，常用到移入根号，分离常数，换元等方法，把目标函数转化为双勾函数的形式，或用基本不等式，或利用函数的单调性求最值。求坐标的最值时，可构造一个一元二次方程，利用??0。 7. 求参数的取值范围问题
这类问题主要是根据条件建立关于参变量的不等式，或者把所求参数转化关于某个变量的函数，
通过解不等式或求函数的值域来求参数的取值范围。
具体解法如下：
（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系。
（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围。不等式的来源常有以下途径：①已知不等式（含基本不等式）；②直线与圆锥曲线相交时，有??0；③点与圆锥曲线（以椭圆最为多见）的位置关系；④圆锥曲线（特别是椭圆）上点的坐标的范围。
（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，用一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用基本不等式：基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思。
（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。圆、椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题。 （6）构造一个二次方程，利用判别式??0。 8. 求动点的轨迹方程
求动点的轨迹方程是解析几何中两类基本问题之一，即根据动点所满足的条件，求动点的坐标之间的关系式。最基本的方法是直接法，步骤是：建系设点
条件立式
坐标代换
化简方程
查漏除杂。此外还有
定义法（主要是利用圆锥曲线的定义），相关点法，参数法，几何法等。在涉及直线、圆的轨迹问题时，常从几何角度去探求动点满足的关系，选用几何法；如果题目没有直接给出动点所满足的条件，而是给出了与
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