注：P{U?1,V?3}?P{min(?,?)?1,max(?,?)?3}?P{??1,??3}?P{??3,??1} ?0.05?0.02?0.07。 （5）W????的分布律为：
W P{W?i} 1 0.02 2 0.06 33 0.13 4 0.19 5 6 7 0.12 8 0.05 0.24（注） 0.19 注：P{W?5}?P{????5}? ?P{??i,??5?i}?0.09?0.06?0.05?0.04?0.24。
i?06、 设随机变量?1,?2独立，分别服从参数为?1与?2的泊松分布，试证：
kP{?1?k|?1??2?n}?Cn(?1?1??2)k(1??1?1??2)n?k,k?0,1,2,,n
解答：?1?(?1),?2?(?2)，?1??且?1与?2相互独立，所以（例2.13）：2?1(?2??)。
因此：P{?1?k|?1??2?n}?P{?1?k,?1??2?n}P{?1?k,?2?n?k}?
P{?1??2?n}P{?1??2?n}?1k?1?P{?1?k}P{?2?n?k}k!(n?k)!k????C?n?(?1??2)n?(?1??2)P{?1??2?n}????12?en!k?0,1,
复习题
Page68
e??1?2n?ke??2k??1?1???????12?n?k，
n。
1、 掷两粒骰子，用?表示两粒骰子点数之和，?表示第一粒与第二粒点数之差，试求?和
?的联合分布律，并讨论?与?是否独立。
解答：以U表示第一粒骰子的点数、V表示第二粒骰子的点数，则由题意可知随机变量U和V相互独立，且P{U?i}?P{V?j}?1,i,j?1,2,6,6。则?和?的联合分布律为： k?lk?lV?, } 225,。4 ,,5??l}?PU{?V?kU,?V?l?}PU{? P{??k,?P{U?k?lk?l}PV{?}k,?222,3,l,?1?2;?
它们的联合分布表如下表：
? 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ? -5 0 0 0 0 0 1/36 0 0 0 0 0 -4 0 0 0 0 1/36 0 1/36 0 0 0 0 -3 0 0 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 0 0 -2 0 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 0 -1 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 1 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 2 0 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 0 3 0 0 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 0 0 4 0 0 0 0 1/36 0 1/36 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 1/36 0 0 0 0 0 由随机变量独立性的定义可知，?和?相互不独立。
??j}?qji,j,可取任意非负整数值，试求：2、 设?,?相互独立，P{??i}?pi,P{P{???}和P{???}。
解答：因?,?相互独立，则P{???}???P{??i,??i}??P{??i}P{??i}??p?q。
iii?0i?0i?0?i?i???P{???}??P{??i,??i}???P{??i,??j}???P{??i}P{??j}
i?0?i?0j?0i?0j?0 ???p?qii?0j?0ij。
3、 在盒子中有N只球，分别标上号码1,2,中得到的最大号码，试求?的分布律。 解答：令?i(i?1,2,,N，现有放回地随机摸n次球，设?是n次
,n)表示第i次摸到球的号码，则可得P{?i?k}?k(k?1,N,N)。
由题意可知每次摸到什么号码是相互独立的。而事件{??k}?{?1?k,?2?k,?n?k}
?{?1?k?1,?n?k?1}。?k,即P{??k}?P{?1nn??nk}?P{?1?k?1,?n?k1?}
?k??k?1??(P{?1?k})n?(P{?1?k?1})n??????,k?1,2,NN????,N。
4、 设在贝努里试验中（成功的概率为p），直到第k次成功出现就停止试验，到此时为止
k?1kn?k所进行的试验次数为?，求证：P{??n}?Cn?1p(1?p),n?k,k?1,k?2,。
解答：假设到第k次成功时已进行的试验次数为n，则我们可以知道，在第n次试验是成功的，并且在前n?1试验中有k?1次试验是成功的、有n?k次试验是不成功的，但显然的是：这k?1次成功的试验可以发生在前n?1试验中的任意k?1次。并且由于每次试验是相
k?1kn?k互独立的，因此，我们可得P{??n}?Cn?1p(1?p),n?k,k?1,k?2,。
5、 作5次独立重复试验，设P(A)?1/3，已知5次中A至少有一次不发生。求A发生次
数与A不发生次数之比的分布律。
解答：以?表示A在5次独立重复试验中发生的次数，则?1B(5,)。已知A至少有一次
3不发生，令?表示A发生次数与A不发生次数之比，则可知?的概率分布律为：
? P{??i|??4} 0 32/242 1/4 80/242 2/3 80/242（注） 23/2 40/242 34/1 30/242 2802P{??2}C5?13??23???注：P{??|??4}?P{??2|??4}?。 52423P{??4}1??13?6、 设?,?相互独立，且服从相同分布P{??n}?P{??n}?1/2,n?1,2,3,（1） 求?1?2?的分布律； （2） 求?2????的分布律。
解答：（1）P{?1?2k}?P{2??2k}?P{??k}?（2）P{?2?k}?P{????k}?k?1i?1n。
1,k?1,2,2kk?1i?1；
i?j?k?P{??i,??j}??P{??i,??k?i}
k?1i?1 ??P{??i}P{??k?i}??11k?1??，k?2,3,2i2k?i2k。
7、 设随机变量?,?相互独立，下表列出了二维随机变量(?,?)的联合分布律及关于?和关
于?的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。
? ? P{??xi}
y1 x1 x2 P{??yj} 1/24 1/8 1/6 y2 1/8 3/8 1/2 y3 1/12 1/4 1/3 1/4 3/4 1 1?P{??x2,??y1}?P{??x2}P{??y1} 813111即得：P{??x2}?，继而得到P{??x1}?，P{??x1,??y1}?? ?P{??x2}?，6444611，P{??x1,??y3}?P{??x1}?P{??x1,??y1}?P{??x1,??y2}?， ?2412111由?P{??x1,??y2}?P{??x1}P{??y2}?P{??y2}，得到P{??y2}?， 8423P{??x2,??y2}?P{??y2}?P{??x1,??y2}?，P{??y3}?1?P{??y1}
811?P{??y2}?，P{??x2,??y3}?P{??y3}?P{??x1,??y3}?。
33解答：因随机变量?,?相互独立，因此
第三章 连续型随机变量及其分布
习题3.1（p.86）
1、 设随机变量?的分布律如下表所示，
??xi P???xi? 0 1/3 1 1/8 2 1/6 7/2 3/8 试求?的分布函数，并利用分布函数求P?0???2?。
x?0?0?1?30?x?1?11?1?x?3解：F?x???24
7?53?x??82?7?1x?2?
