内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 2018版高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其
分布 11.5 古典概型真题演练集训 理 新人教A版
1．[2016·江苏卷]将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
5答案： 6
解析：解法一：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，向上的点数有36种结果，其中点305
数之和小于10的有30种，故所求概率为＝.
366
解法二：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，向上的点数有36种结果，其中点数之和6
不小于10的有(6,6)，(6,5)，(6,4)，(5,6)，(5,5)，(4,6)，共6种，故所求概率为1－＝365. 6
2．[2015·新课标全国卷Ⅱ]某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
①
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评 分分组 频数 [50,60) 2 [60,70) 8 [70,80) 14 [80,90) 10 [90， 100] 6 (1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满
1
意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
②
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级： 满意度评分 满意度等级 低于70分 不满意 70分到89分 满意 不低于90分 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由． 解：(1)如图所示．
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．
(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图，得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.
所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
3．[2016·天津卷]某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为
2
1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率； (2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
C3C4＋C31解：(1)由已知，有P(A)＝＝. 2
C1031
所以事件A发生的概率为. 3
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2. C3＋C3＋C44
P(X＝0)＝＝， 2
C1015C3C3＋C3C47
P(X＝1)＝＝， 2
C1015C3C44
P(X＝2)＝2＝. C1015
所以，随机变量X的分布列为
1111
11
2
2
2
11
2
X P 0 4 151 7 152 4 15474随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
151515
课外拓展阅读
古典概型与平面向量、几何、统计等知识的综合
古典概型的考查可以和平面向量、几何、统计等知识相互交汇，在解题中要重视古典概型的计算，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后正确使用古典概型的概率计算公式进行计算．
[典例1] 甲、乙分别从底为等腰直角三角形的直三棱柱的9条棱中任选一条，则这2条棱互相垂直的概率为( )
A.
22374459
B. C. D. 81818181
[思路分析]
3
[解析] 由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是甲从这9条棱中任选一条，乙从这9条棱中任选一条，共有9×9＝ 81(种)结果，满足条件的事件是这两条棱互相垂直，所有可能情况是：
当甲选底面上的一条直角边时，乙有5种选法，共有4条直角边，则共有20种结果； 当甲选底面上的一条斜边时，乙有3种选法，共有2条底面的斜边，则共有6种结果； 当甲选一条侧棱时，乙有6种选法，共有3条侧棱，则共有18种结果， 综上所述，共有20＋6＋18＝44(种)结果， 44
故2条棱互相垂直的概率是.
81[答案] C 温馨提示
以棱柱、棱锥及异面直线、距离等立体几何知识为载体的古典概型求解是高考中的重要题型，题目综合性较强，有一定的难度，解题的关键是要考虑所有的位置关系．
[典例2] 设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1,3)． (1)求使得事件“a∥b”发生的概率； (2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率． [解] (1)由题意知，
m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}．
故(m，n)所有可能的取法共36种． 由a∥b，得n＝3m，
则(m，n)的取法共有2种，即(1,3)，(2,6)． 21所以事件“a∥b”发生的概率为＝. 3618(2)由|a|≤|b|，得m＋n≤10， 则(m，n)的取法共有6种，
即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)．
2
2
4
