?2?(u)?0. u?VS观察者测得的拍频为以上两者之差，即
????2??1?化简，可得
2u?S?0, 2u2?uS??VS2?2u?VS???u2?0,
解方程，得到
VS?u?0??(1?()2?1). ???0因为?????0,所以VS?u?01??u??[1?()2?...?1]??0.25m/S. ??2?02?0（2）观测者从波源直接听到的声波频率为
???0. ?1反射面接收到的声波频率（反射面相当于观察者，向着声源运动）
???u?Vr?0. u由于反射面在运动，此时反射面相当于声源，故观测者所测得的反射面反射的声波频率为
??(?2u?Vru)???()?0, u?Vru?Vr2Vr?0, u?Vr???1??拍频?????2得到
?0?u?Vr???3398HZ 2Vr
例12 运用多普勒效应求解飞机的飞行高度
飞机在上空以速度V?200m/S作水平飞行，发出频率?0?2000HZ的声波。静止在地面上的观察者测定飞机发出的声波的频率。当飞机越过观察者上空时，观察者在4S内测
HZ降为?2?1600HZ。已知声波在空气中的速度u?330m/S。 出的频率从?1?2400试求：
飞机的飞行高度h.
解：设飞机在4S内从A点水平飞行到B点，飞行高度为h，M为观察者，如图一所示。声源在AM方向的分速度
VAM?Vcos?，声波在BM方向的分速
度VBM?Vcos?。
由多普勒效应的公式
?1?uu?0??0,
u?VAMu??cos?解，得到
cos??(?1??0)u?0.275.
?1Vuu?0??0,
u?VBMu?Vcos?又?2?解，得到
cos??(?0??2)u?0.4125.
?2V由几何关系，得到
AB?Vt?h(ctg??ctg?),
可以得到，h?Vt?ctg??ctg?Vtcos?1?cos2??cos?1?cos2??1.31?103m
例13 求解观测频率的极值
如图一，音叉P沿着半径r?8m的圆以角速度??4rad/s作匀速圆周运动。音叉发出频率声波的速度为u?330m/S.?0?500HZ的声波，
观测者M与圆周共面，与圆心O的距离d=2r。试
问：
当?角为多大时，观测到声波的频率为最高或者最低，并求其数值。
解：当音叉位于中心角为?的位置时，声源在观测者方向上的分速度为Vcos?。根据多普勒效
应的公式，观测到声波的频率?与角?的关系为
??uu?0??0. （1）
u?Vcos?u?r?sin?利用正弦定理以及余弦定理，把sin?表示成?的函数，由
sin?sin??,PM2?d2?r2?2drcos? dPM可得到，sin??dsin?r?d?2rdcos?22?2sin?5?4cos?.
代入（1），得到
??u?r?u2sin?5?4cos??0.
? 为极值时满足
代入，得到
d??0, d?5cos??4cos2??2sin2??0,
或者2cos??5cos??2?0. 可以解得
2cos??10或者2（舍去），???60. 20当?1?60时，sin?1?1,?1?u?0?456HZ
u?r?sin?1u?0?554HZ.
u?r?sin?2当?2??60时，sin?2??1,?2?00可见，当???60时，观测到声波的最低频率?1?456HZ和最高频率?2?554HZ。
例14 运用多普勒效应求解声音的频率
声波在空气中的传播速度为u1，在铜板中的传播速度为u2。设频率为?0的声波从静止的波源S发出，如图一。经空气传播到以速度V?u1向前运动的平行铜板，在铜板的正前方有一静止的接收者R，求：
（1） S接收到的由铜板反射回的
声波频率?1；
（2） B接收到的透射声波的频率?2.
解：（1）波源静止，以速度V运动的铜板的左侧接收到的声波频率为
???u1?V?0. u1u1?? u1?VS接收到的运动铜板反射回的声波频率为?1?以??代入，得到
?2?u1?V?0. u1?V（2）R处接收到的运动铜板向前方发射的声波频率为
?2?u1?? u1?V以??代入，得到
?2??1.
声波在铜板中传播，虽然速度改变了，但频率不变。
