第七章 机械振动和机械波
第一讲 基本知识介绍
《振动和波》的竞赛考纲和高考要求有很大的不同，必须做一些相对详细的补充。
一、简谐运动
??1、简谐运动定义：?F= －kx ①
凡是所受合力和位移满足①式的质点，均可称之为谐振子，如弹簧振子、小角度单摆等。 k??谐振子的加速度：a= －x
m2、简谐运动的方程
回避高等数学工具，我们可以将简谐运动看成匀速圆周运动在某一条直线上的投影运动（以下均看在x方向的投影），圆周运动的半径即为简谐运动的振幅A 。
??依据：?Fx = －mω2Acosθ= －mω2x
对于一个给定的匀速圆周运动，m、ω是恒定不变的，可以令：
mω2 = k
这样，以上两式就符合了简谐运动的定义式①。所以，x
方向的位移、速度、加速度就是简谐运动的相关规律。从图1不难得出——
?位移方程：x = Acos(ωt + φ) ②
?速度方程：v = －ωAsin(ωt +φ) ③
?加速度方程：a= －ω2A cos(ωt +φ) ④ 相关名词：(ωt +φ)称相位，φ称初相。
??运动学参量的相互关系：a= －ω2x
A =
2x0?(v02) ?tgφ= －
v0 ?x03、简谐运动的合成
a、同方向、同频率振动合成。两个振动x1 = A1cos(ωt +φ1)和x2 = A2cos(ωt +φ2) 合成，可令合振动x = Acos(ωt +φ) ，由于x = x1 + x2 ，解得
A =
2A1?A2?2A1A2cos(?2??1) ，φ= arctg 2A1sin?1?A2sin?2
A1cos?1?A2cos?2显然，当φ2－φ1 = 2kπ时（k = 0，±1，±2，?），合振幅A最大，当φ2－φ1 = （2k + 1）π时（k = 0，±1，±2，?），合振幅最小。
b、方向垂直、同频率振动合成。当质点同时参与两个垂直的振动x = A1cos(ωt + φ1)和y = A2cos(ωt + φ2)时，这两个振动方程事实上已经构成了质点在二维空间运动的轨迹参数方程，消去参数t后，得一般形式的轨迹方程为
y2xyx2+2－2cos(φ2－φ1) = sin2(φ2－φ1) 2A1A2A1A2
显然，当φ2－φ1 = 2kπ时（k = 0，±1，±2，?），有y = 运动仍为简谐运动；
A2x ，轨迹为直线，合A1y2x2当φ2－φ1 = （2k + 1）π时（k = 0，±1，±2，?），有2+2= 1 ，轨迹
A1A2为椭圆，合运动不再是简谐运动；
当φ2－φ1取其它值，轨迹将更为复杂，称“李萨如图形”，不是简谐运动。 c、同方向、同振幅、频率相近的振动合成。令x1 = Acos(ω1t + φ)和x2 = Acos(ω2t + φ) ，由于合运动x = x1 + x2 ，得：x =（2Acos动，但不是简谐运动，称为角频率为
4、简谐运动的周期 由②式得：ω=
T = 2π
k ，而圆周运动的角速度和简谐运动的角频率是一致的，所以 m?2??1???1t）cos（2t +φ）。合运动是振22?2??1的“拍”现象。 2m ⑤ k5、简谐运动的能量
一个做简谐运动的振子的能量由动能和势能构成，即
?E=
111mv2 + kx2 = kA2 222注意：振子的势能是由（回复力系数）k和（相对平衡位置位移）x决定的一个抽象的
概念，而不是具体地指重力势能或弹性势能。当我们计量了振子的抽象势能后，其它的具体势能不能再做重复计量。
6、阻尼振动、受迫振动和共振 和高考要求基本相同。
二、机械波
1、波的产生和传播
产生的过程和条件；传播的性质，相关参量（决定参量的物理因素） 2、机械波的描述
a、波动图象。和振动图象的联系 b、波动方程
如果一列简谐波沿x方向传播，振源的振动方程为y = Acos（ωt + φ），波的传播速度为v ，那么在离振源x处一个振动质点的振动方程便是
y = Acos〔ωt + φ -
xx22π〕= Acos〔ω（t - ）+ φ〕 ?vx）+ φ〕为波v这个方程展示的是一个复变函数。对任意一个时刻t ，都有一个y（x）的正弦函数，在x-y坐标下可以描绘出一个瞬时波形。所以，称y = Acos〔ω（t - 动方程。
3、波的干涉
a、 波的叠加。几列波在同一介质种传播时，能独立的维持它们的各自形态传播，在相遇的
区域则遵从矢量叠加（包括位移、速度和加速度的叠加）。
b、波的干涉。两列波频率相同、相位差恒定时，在同一介质中的叠加将形成一种特殊形态：振动加强的区域和振动削弱的区域稳定分布且彼此隔开。
我们可以用波程差的方法来讨论干涉的定量规律。如图2所示，我们用S1和S2表示两个波源，P表示空间任意一点。
当振源的振动方向相同时，令振源S1的振动方程为y1 = A1cosωt ，振源S1的振动方程为y2 = A2cosωt ，则在空间P点（距S1为r1 ，距S2为r2），两振源引起的分振动分别是
ry1′= A1cos〔ω（t ? 1）〕
vy2′= A2cos〔ω（t ?
r2）〕 v?r1?r ，φ2 = 2），且vvP点便出现两个频率相同、初相不同的振动叠加问题（φ1 = 初相差Δφ=
?（r2 – r1）。根据前面已经做过的讨论，有 vr2 ? r1 = kλ时（k = 0，±1，±2，?），P点振动加强，振幅为A1 + A2 ； r2 ? r1 =（2k ? 1）
?时（k = 0，±1，±2，?），P点振动削弱，振幅为│A1－A22│。
4、波的反射、折射和衍射 知识点和高考要求相同。 5、多普勒效应
当波源或者接受者相对与波的传播介质运动时，接收者会发现波的频率发生变化。多普勒效应的定量讨论可以分为以下三种情况（在讨论中注意：波源的发波频率f和波相对介质的传播速度v是恒定不变的）——
a、只有接收者相对介质运动（如图3所示） 设接收者以速度v1正对静止的波源运动。
如果接收者静止在A点，他单位时间接收的波的个数为f ， 当他迎着波源运动时，设其在单位时间到达B点，则
AB= v1 ，、
在从A运动到B的过程中，接收者事实上“提前”多接收到了n个波
n =
vvfAB= 1= 1 ?v/fv显然，在单位时间内，接收者接收到的总的波的数目为：v?v1f + n = f ，这就是接收者发现的频率f1 。即
vf1 =
v?v1f v显然，如果v1背离波源运动，只要将上式中的v1代入负值即可。如果v1的方向不是正对S ，只要将v1出正对的分量即可。
a、 b、只有波源相对介质运动（如图4所示） 设波源以速度v2正对静止的接收者运动。
SA= 如果波源S不动，在单位时间内，接收者在A点应接收f个波，故S到A的距离：
fλ
在单位时间内，S运动至S′，即SS?= v2 。由于波源的运动，事实造成了S到A的f个波被压缩在了S′到A的空间里，波长将变短，新的波长
f??v2v?v2S?ASA?SS?= = =
ffff而每个波在介质中的传播速度仍为v ，故“被压缩”的波
λ′=
（A接收到的波）的频率变为
vvf2 = = f
v?v2??当v2背离接收者，或有一定夹角的讨论，类似a情形。
c、当接收者和波源均相对传播介质运动
当接收者正对波源以速度v1（相对介质速度）运动，波源也正对接收者以速度v2（相对介质速度）运动，我们的讨论可以在b情形的过程上延续?
v?v1v?v1f3 = f2 = f
v?v2v关于速度方向改变的问题，讨论类似a情形。
6、声波
a、乐音和噪音
b、声音的三要素：音调、响度和音品 c、声音的共鸣
第二讲 重要模型与专题
一、简谐运动的证明与周期计算
物理情形：如图5所示，将一粗细均匀、两边开口的U型管固定，其中装有一定量的水银，汞柱总长为L 。当水银受到一个初始的扰动后，开始在管中振动。忽略管壁对汞的阻力，试证明汞柱做简谐运动，并求其周期。
模型分析：对简谐运动的证明，只要以汞柱为对象，看它的回复力与位移关系是否满足定义式①，值得注意的是，回复力?F系指振动方向上的合力（而非整体合力）。当简谐运动被证明后，回复力系数k就有了，求周期就是顺理成章的事。
本题中，可设汞柱两端偏离平衡位置的瞬时位移为x 、水银密度为ρ、U型管横截面积为S ，则次瞬时的回复力
ΣF = ρg2xS =
2mgx L2mg = k ，而且ΣF与x的方向相反，故汞柱做简L?由于L、m为固定值，可令：谐运动。
