题3.1：质量为m的物体，由水平面上点O以初速为v0抛出，v0与水平面成仰角?。若不计空气阻力，求：（1）物体从发射点O到最高点的过程中，重力的冲量；（2）物体从发射点到落回至同一水平面的过程中，重力的冲量。
题3.1分析：重力是恒力，因此，求其在一段时间内的冲量时，只需求出时间间隔即可。由
vsin?抛体运动规律可知，物体到达最高点的时间?t1?0，物体从出发到落回至同一水平面
g所需的时间是到达最高点时间的两倍。这样，按冲量的定义即可求出结果。
另一种解的方法是根据过程的始、末动量，由动量定理求出。 解1：物体从出发到达最高点所需的时间为
vsin? ?t1?0g则物体落回地面的时间为
2vsin? ?t2?2?t1?0g于是，在相应的过程中重力的冲量分别为 I1??Fdt??mg?t1j??mv0sin?j
?t1I2??Fdt??mg?t2j??2mv0sin?j
?t2解2：根据动量定理，物体由发射点O运动到A、B的过程中，重力的冲量分别为
I1?mvAyj?mv0yj??mv0sin?j I2?mvByj?mv0yj??2mv0sin?j
题3.2：高空作业时系安全带是必要的，假如质量为51.0kg的人不慎从高空掉下来，由于安全带的保护，使他最终被悬挂起来。已知此时人离原处的距离为2米，安全带的缓冲作用时间为0.50秒。求安全带对人的平均冲力。
题3.2解1：以人为研究对象，在自由落体运动过程中，人跌落至2 m处时的速度为 v1?2gh （1）
在缓冲过程中，人受重力和安全带冲力的作用，根据动量定理，有
?F?P??t?mv2?mv1（2）
由（1）式、（2）式可得安全带对人的平均冲力大小为
F?mg?m2gh??mv??mg??1.14?103N
?t?t解2：从整个过程来讨论，根据动量定理有 F?mg2h/g?mg?1.14?103N ?t题3.3：如图所示，在水平地面上，有一横截面S?0.20m2的直角弯管，管中有流速为
v?3.0m?s?1的水通过，求弯管所受力的大小和方向。
题3.3解：在?t时间内，从管一端流入（或流出）水的质量为?m??vS?t,弯曲部分AB的水的动量的增量则为
?p??m?vB?vA???vS?t?vB?vA?
依据动量定理I??p，得到管壁对这部分水的平均冲力 F?I??Sv?vB?vA? ?t从而可得水流对管壁作用力的大小为 F???F??2?Sv2??2.5?103N
作用力的方向则沿直角平分线指向弯管外侧。
题3.4：一作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为19.6m。爆炸1.00s后，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水平距离为1.00?102m。问第二块落在距抛出点多远的地面上？(设空气的阻力不计)
题3.4解：取如图示坐标，根据抛体运动的规律，爆炸前，物体在最高点A的速度的水平分量为
v0x?x1g?x1（1） t02h物体爆炸后，第一块碎片竖直落下的运动方程为 y1?h?v1t?12gt 2当该碎片落地时，有y1?0,t?t1，则由上式得爆炸后第一块碎片抛出的速度
h?v1?12gt12（2） t1又根据动量守恒定律，在最高点处有 mv0x?1mv2x（3） 2110??mv1?mv2y（4）
22联立解式（1）、（2）、（3）和（4），可得爆炸后第二块碎片抛出时的速度分量分别为
v2x?2v0x?2x1g?100m?s－1 2hh?v2y?v1?12gt12?14.7m?s－1 t1爆炸后，第二块碎片斜抛运动，其运动方程为 x2?x1?v2xt2y?h?v2yt2?12 gt22落地时，y2?0，由（5）、（6）可解得第二块碎片落地点的水平位置 x2?500m
题3.5：A、B两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦肩相遇时，两船各自向对方平
稳地传递50kg的重物，结果是A船停了下来，而B船以3.4m?s?1的速度继续向前驶去。A、B两船原有质量分别为0.5?103kg和1.0?103kg，求在传递重物前两船的速度。(忽略水对船
的阻力)
题3.5分析：由于两船横向传递的速度可略去不计，则对搬出重物后的船A与从船B搬入的重物所组成的系统I来讲，在水平方向上无外力作用，因此，它们相互作用的过程中应满足动量守恒；同样，对搬出重物后的船B与从船A搬入的重物所组成的系统II亦是这样。由此，分别列出系统I、II的动量守恒方程即可解出结果。
解：设A、B两船原有的速度分别以vA、vB表示，传递重物后船的速度分别以v?A、v?B表示，被搬运重物的质量以m表示。分别对上述系统I、II应用动量守恒定律，则有
? （1） ?mA?m?vA?mvB?mAvA?（2） ?mB?m?vB?mvA?mBvB由题意知v?A = 0，v?B = 3.4 m?s?1代入数据后，可解得
?mBmv?BvA???0.40m?s?1 2?mB?m??mA?m??mvB??mA?m?mBv?B?mA?m??mB?m??m2?3.6m?s?1
也可以选择不同的系统，例如，把A、B两船（包括传递的物体在内）视为系统，同样能满足动量守恒，也可以列出相应的方程求解。 题3.6：质量为m?的人手里拿着一个质量为m的物体，此人用与水平面成?角的速率v0向前跳去。当他达到最高点时，他将物体以相对于人为u的水平速率向后抛出。问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？（假设人可视为质点）
题3.6解：取如图所示坐标。把人与物体视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向左抛物过程中，满足动量守恒，故有 ?m?m??v0cos??m?v?m?v?u?
式中v为人抛物后相对地面的水平速度，v－u为抛出物对地面的水平速度。得 v?v0cos??mu m??mmu m??m人的水平速度的增量为 ?v?v?v0cos??而人从最高点到地面的运动时间为
vsin? t?0g所以，人跳跃后增加的距离
mv0sin??x??vt?u
?m??m?g题3.7：铁路上有一静止的平板车，其质量为m?，设平板车可无摩擦地在水平轨道上运动。现有N个人从平板车的后端跳下，每个人的质量均为m，相对平板车的速度均为u。问：在下列两种情况下，（1）N个人同时跳离；（2）一个人、一个人地跳离，平板车的末速是多少?所得的结果为何不同，其物理原因是什么?
题3.7解：取平板车及N个人组成的系统，以地面为参考系，平板车的运动方向为正方向，系统在该方向上满足动量守恒。
考虑N个人同时跳车的情况，这跳车后平板车的速度为v，则由动量守恒定律得 0?m?v?Nm?v?u? v?Nmu（1）
m??Nm又考虑N个人一个接一个的跳车的情况。设当平板车上尚有n个人时的速度为vn，跳下一人后车速为vn?1，在这一次跳车过程中，根据动量守恒有
?m??nm?vn?m?vn?1??n?1?mvn?1?m?vn?1?u?（2）
由式（2）可解得递推公式 vn?1?vn?mu（3）
m??nm显然，当车上有N个人时（即n = N），因尚未有人跳离平板车，故vN = 0；而车上N个人全跳完时，车速为v0。根据（3）有 vN?1?0?mu
m??NmvN?2?vN?1?mu
m???N?1?m…… v0?v1?mu m??m将上述各等式的两侧分别相加，整理后得 mu ?m?nmn?1由于m??nm?m??Nmv0??Nn?1,2,3,?,N
故有 v0?v
即N个人一个接一个地跳车时，平板车的末速v0大于N个人同时跳下时平板车的末速v。这是因为在N个人逐一跳离车时，车队地的速度逐次增加，导致跳车者相对地面的速度也在逐次增大，并对平板车所作的功也相应增大，因而平板车得到的能量也大，其车速也大。 题3.8：如图所示，一绳索跨过无摩擦的滑轮，系在质量为1.00kg的物体上，起初物体静止在无摩擦的水平面上。若用5.00N的恒力作用在绳索的另一端，使物体向右加速运动，当系在物体上的绳索从水平面成30?角变为37?角时，力对物体所作的功为多少？已知滑轮与水平面之间的距离为1m。
题3.8分析：该题中虽施以“恒力”，但是，作用在物体上的力的方向在不断变化。需按功的矢量定义式W??F?ds来求解。 解：取图示坐标，绳索拉力对物体所作的功为
W??F?dx??Fcos?dx???x1x2Fxd?x2dx?1.69J
题3.9：一物体在介质中按规律x?ct3作直线运动，c为一常量。设介质对物体的阻力正比于速度的平方。试求物体由x0?0运动到x?l时，阻力所作的功。（已知阻力系数为k）
