数列通项公式的求法
数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。小结：除了熟悉以上常见求法以外，对具体的数列进行适当的变形，一边转化为熟知的数列模型更是突破数列通项的关键。做题时要不断总结经验，多加琢磨。
总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.
1.直接法2.公式法3.归纳猜想法4.累加（乘）法5.取倒（对）数法6.迭代法7.待定系数法8.特征根法9.不动点法10.换元法11.双数列12.周期型13.分解因式法14.循环法15.开方法
◆一、直接法
根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…
916,4,? 1017212（3）1,,,,?
3251234（4）,?,,?,?
2345（2）1,2,31245◆二、公式法
①利用等差数列或等比数列的定义求通项
②若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列?an?的通项an可用公式an??(注意：求完后一定要考虑合并通项)
②已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn
③ 已知等比数列?an?的首项a1?1，公比0?q?1，设数列?bn?的通项为bn?an?1?an?2，求数列通项公式。
?S1????????????????n?1求解.
?Sn?Sn?1???????n?2例2．①已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?2an?(?1),n?1．求数列?an?的通项公式.
n?n2?n?1，求数列?an?的通项公式.
?bn?的
◆三、归纳猜想法
如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。
例3.已知点的序列An(xn,0),n?N，其中x1?0，x2?a(a?0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An?2An?1的中点，…
（1） 写出xn与xn?1,xn?2之间的关系式（n?3）。
（2） 设an?xn?1?xn，计算a1,a2,a3，由此推测?an?的通项公式，并加以证明。
变式:设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，… （Ⅰ）求a1，a2； （Ⅱ）｛an｝的通项公式
*◆四、累加（乘）法
对于形如an?1?an?f(n)型或形如an?1?f(n)an型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。
例4. 若在数列?an?中，a1?3，an?1?an?n，求通项an。 例5.
*在数列?an?中，a1?1，an?1?2an（n?N），求通项an。
n
◆五、取倒（对）数法
a、an?1?pan这种类型一般是等式两边取对数后转化为an?1?pan?q，再利用待定系数法求解 b、数列有形如f(an,an?1,anan?1)?0的关系，可在等式两边同乘以
r11,先求出,再求得an.
anan?1anc、an?1?f(n)an解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为an?1?pan?q。
g(n)an?h(n)例6.．设数列{an}满足a1?2,an?1?
an(n?N),求an. an?3 例7 、 设正项数列?an?满足a1?1，an?2an?1（n≥2）.求数列?an?的通项公式.
2 变式:
1.已知数列｛an｝满足：a1＝
2、若数列的递推公式为a1?3,
3、已知数列{an}满足a1?1,n?2时，an?1?an?2an?1an，求通项an．
4、已知数列｛an｝满足：an?
5、若数列｛an｝中，a1=1，an?1=
3nan－13（n?2，n?N?），且an＝求通项an．
2an－1＋n－1211??2(n??)，求通项an． an?1anan?1,a1?1，求通项an．
3?an?1?12an n∈N?，求通项an． an?2
◆六、迭代法
迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算.
例8、设a 0为常数，且a n＝3 －2 a n -1（n为正整数）证明对任意n≥1 ，
nn -1nnn
a n＝ [ 3 ＋（－1）· 2 ]＋（－1） · 2 a 0
n -1
◆七、待定系数法：
求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。
1、通过分解常数，可转化为特殊数列{an+k}的形式求解。一般地，形如an?1=p an+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设an?1+k=p（an+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=比数列{an+k}。 例9、数列{an}满足a1=1，an=
练习、数列{an}满足a1=1，3an?1?an?7?0,求数列{an}的通项公式。
q，从而得等p?11an?1+1（n≥2），求数列{an}的通项公式。 22、已知数列?an?满足a1?1，且an?1?3an?2，求an．
