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10、⑴以O为原点，OA所在直线为x轴建立坐标系．设P(m,n)，
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∵0????2，tan??33∴cos??7321，sin??， 1414则m?OP?sin??93，n?OP?cos??， ……4分 222依题意，AB⊥OA，则OA=9，OB=2OA=9，商业中心到A、B两处的距离和为13.5km． ⑵
方法1：当AB与x轴不垂直时，设AB：y?3?k(x?9)，①
22令y?0，得xA??3?9；由题意，直线OB的方程为y?3x，②
2k2解①②联立的方程组，得xB?9k?39k?3，∴22， OB?xB?yB?2xB?k?32(k?3)∴y?OA?OB??399k?3，由xA?0，xB?0，得k?3，或??2k2k?3k?0． ……11分
y'??83(k?3)2?3?3(3k?3)(5k?3)3y'?0，令，得， ?k??2222k32k(k?3)3当k??3时，y'?0，y是减函数；当??k?0时，y'?0，y是增函数，
33∴当k??3时，y有极小值为9km；当k?33时，y'?0，y是减函数，结合⑴知
y?13.5km．
综上所述，商业中心到A、B两处的距离和最短为9km，此时OA=6km，OB=3km，
方法2：如图，过P作PM//OA交OB于M，PN//OB交OA于N，设∠BAO=?，
△OPN中
PNONOP，得PN=1，ON=4=PM， ?????sin(90??)sin(??30)sin120北中∠NPA=120°-
B△PNA
?∴
PNNA?sin?sin(120???)得
MONPAsin(120???) NA?sin? 同理在△PMB中，
BMPM4sin?，得， ?MB???sin?sin(120??)sin(120??)sin(1?2?0?)4?sin y?OA?OB???1?4?24??5，9 ……13?sin?sin(12?0?)分
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3sin(120???)4sin?? 当且仅当即即时取tan??sin(120??)?2sin??3sin?sin(120???)等号．
94A(?4,0)， 2方法3：若设点B(m,3m)，则AB：，得?y?x?323m?3m?92m?122∴OA?OB?2m?42m?1?4?2m?1?1?42m?1?4?9， 13分
当且仅当2m?1?42m?1即m?32时取等号．
方法4：设A(n,0)，AB：y?02?x?n，得xB??1， 392?02?nn?42OA?OB?n?2x4B?n?4?4?n?4?1?(n?4)?4n?4?5?9……13分
当且仅当n?4?4n?4即n?6时取等号． 答：A选地址离商业中心6km，B离商业中心3km
置． ……15分
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……
，为最佳位
