题8.5图
8.6. 如题8.6图所示, 质量为m的质点, 在光滑的旋轮线上做往复运动, 旋轮线的方程式
为s?4asin?, 式中的s是图中由O点量起的弧坐标, ?是旋轮线的切线与水平轴的夹角,a为常量. 试用拉格朗日方法证明质点的振动是简谐振动(即使做大幅度振动),并求出振动周期.
题8.6图
8.7. 如题8.7图所示, 一滑轮可绕水平轴O转动, 在此滑轮上绕过一条不可伸长的绳, 绳
的一端悬一重物, 其质量为m1, 另一端与一铅垂弹簧连接, 弹簧的另一端被固定, 弹簧的劲度系数为k, 滑轮质量为m2, 视质量均匀分布在轮缘上, 绳与滑轮间无滑动. 试用拉格朗日方法, 求证重物做简谐振动, 并求振动周期.
题8.7图
8.8. 如题8.8图所示, 倾角为?的光滑固定尖劈上放有一质量为m1的滑块A, 上面用铰
链与轻杆连接, 轻杆又与一小球B相连. 轻杆只能在铅垂面内运动. 已知杆长为l, 小球质量为m2. 试用拉格朗日方程建立滑块、轻杆和小球组成的力学系统的运动微分方程.
题8.8图
8.9. 如题8.9图所示, 质量为m1的滑块A可以沿水平轴x运动, 质量为m2的小球P被长
为l的轻杆与滑块相连, 组成的摆可在竖直平面内摆动, 试写出下面两种情况下的拉格朗日函数, 并判断存在哪些初积分.(1) 滑块在x轴上自由滑动；(2) 滑块以
x?Asin?t的规律在x轴上滑动.A,?为常量.
题8.9图
8.10. 如题8.10图所示, 离心节速器由四根长度均为l的相同的轻杆和两个质量均为m1的
质点A和B, 以及可沿竖直轴滑动的质量为m2的套管C组成. 杆均用光滑铰链连接.O点是固定点. 整个系统可绕竖直轴无摩擦地滑动. 试由此系统的拉格朗日函数判断存在的初积分.
题8.10图
8.11. 如题8.11图所示, 质量为m的小环P套在半径为a的光滑圆圈上, 并可沿圆圈运动.
??如果圆圈在水平面内以等角速度绕过圈上某一点的竖直轴转动, 用拉格朗日方程求
小环相对大环的运动微分方程, 并判断存在的初积分.
题8.11图
8.12. 如题8.12图所示, 质量为m1的圆柱体s放在质量为m2的圆柱体P上做无滑动滚动,
P放置在粗糙平面上. 已知两圆柱的对称轴都是水平的, 且质心在同一竖直面内, 开
始时系统是静止的, 两圆柱连心线沿竖直方向. 若以圆柱体P的初始位置为固定坐标原点, 试证明圆柱s的质心在任意时刻的坐标为
式中C为两圆柱对称轴间的距离, ?为两圆柱连心线与竖直向上的直线的夹角.
m??(3m2?m1)sin???xC?C13(m2?m1)???yC?Ccos?
题8.12图
8.13. 如题8.13图所示, 一匀质直杆AB, 质量为m, 长为2l, 两端约束在半径为R的
光滑水平圆圈上, l?R, 圆圈被固定在水平面内. 一质量为m的甲虫以不变的相对线的夹角为?,试用拉格朗日方法求杆在t时刻的转动角速度?.
???u速度沿杆运动. 初始时甲虫在杆的中点, 杆的转动角速度为0. 设杆与水平固定直
?
题8.13图
8.14. 如题8.14图所示, 匀质细杆AB, 质量为m, 长2a,A端可在水平光滑导轨上运
拉格朗日方法求出摆角很小时杆的运动微分方程.
?动, 杆在铅垂平面内绕A端摆动. 杆除重力作用外,B端还受到水平力F的作用.试用
题8.14图
8.15. 如题8.15图所示, 水平放置的行星齿轮, 曲柄OA带动齿轮S2在固定齿轮S1上滚
动. 已知曲柄的质量为m1, S2的质量为m2, 半径为r, 齿轮S1的半径为R. 今在的转动角速度.
?曲柄上作用一个不变的力矩M, 并把齿轮视为匀质圆盘, 试用拉格朗日方程求出曲柄
题8.15图
8.16. 如题8.16图所示, 质量为m的质点P1固定在长为l的轻杆的一端, 轻杆的另一端铰
接在固定点O上；长为l的另一轻杆的上端与质点P1铰接, 另一端与质量也为m的质点P2连接. 各铰链光滑. 以两杆分别与竖直向下方向所夹的角度?1, ?2作为广义坐标, 求此系统的微振动运动方程及简正频率,并讨论其简正模式.
题8.16图
8.17. 如题8.17图所示, 耦合摆由两个相同的摆和一个水平弹簧组成. 两摆均在同一竖直
平面内摆动. 弹簧原长a等于摆的两悬挂点之距离. 已知摆锤质量为m, 杆的长度为
l, 忽略杆的质量. 弹簧两端与摆锤相连, 弹簧的劲度系数为k. 试求该系统的简正
频率及简正模式.