宏 观 经 济 数 量 分 析 方 法
而称微分方程
ay???by??cy?0
为二阶常系数齐次线性微分方程。
下面首先介绍齐次方程解的性质，然后再借助这些性质去构造它的通解的结构。然后利用齐次方程的通解去构造非齐次方程的解。
容易证明，
定理 设u1(x) , u2(x)是二阶常系数齐次微分方程的解，k1，k2是任意常数。则
k1u1(x)?k2u2(x)也是它的解；
该定理常常表述为常系数齐次线性微分方程解的线性组合仍然是它的解。 根据该定理及微分方程通解的定义，容易得到
定理 设u1(x)，u2(x)是常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的特解，则它们的线性组合c1u1(x)?c2u2(x)它的通解。其中，c1, c2是任意常数。
本定理常称为常系数齐次线性微分方程解的结构定理。
因此，求常系数线性齐次微分方程的通解的关键是求它的两个线性无关的特解。
通过观察，不难看出这种微分方程解应具有的函数类型。事实上，从常系数齐次线性微分方程左边的表达式可知，若函数f(x)是该微分方程的解，则f(x)与它的一、二阶导数的某个线性组合应等于零。因此，f(x)与它的一、二阶导数应该是同类型的函数。由导数基本公式可知，指数型函数e具有这种性质。因此，可以按下列方法寻找它的特解：假设它具有指数型函数e的解，代回原微分方程，用待定系数法确定r的值。确定了r的值，就求出了原方程的特解。
设y?erx是常系数齐次线性微分方程的解。将其代入，有
aerx
rx
????b?e???c?e?
rxrxrx?ar2erx?brerx?cerx ?erx(ar2?br?c)?0
注意，对任意的x?R，e程
rx?0。所以，欲使y?erx是方程的解，则r必须是一元二次方
ar2?br?c?0
的根。由于上述步骤步步可逆。因此，我们得到了
定理 y?erx是常系数齐次线性微分方程的解的必要充分条件是r是一元二次方程
ar2?br?c?0
的根。
为此，引入下列定义:
定义 称上述代数方程是常系数齐次线性微分方程的特征方程，其根称为常系数齐次线性微分方程的特征根或特征值。
这样，求常系数线性微分方程的特解以转化为求它的特征方程的根。 由于一元二次方程的根可能会是有两个不等的实根、有两个相等的实重根、有一对互为共轭复根。因此，常系数齐次线性微分方程的通解也有下列三种形式：
1) 有两个不等的实特征根：此时，c1e1?c2e2是其通解； 2) 有两个相等的实重特征：由于两个重特征根给出的对应指数函数是同一个函数。因
此，需要去再找一个与y?e1线性无关的特解。此时容易验证，y?xe1也是它
的的一个特解。因此，该微分方程的通解是
rxrxrxrxc1er1x?c2xer1x?er1x(c1?c2x)；
rxrx3) 有两个共轭复特征根：设r1???i? , r2???i?。虽然e1，e2是它的解，且
它们线性无关，但是，这两个函数中含有复数，而在高等数学中，一般都仅在实数范围内讨论。因此，希望将这两个函数转化为仅含实数的函数。为此，根据欧拉公
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微 分 方 程 与 差 分 方 程
式，
er1x?e(??i?)x?e?x(cos? x?isin? x) er2x?e(??i?)x?e?x(cos? x?isin? x)
令
e(??i?)x?e(??i?)xy1??e?xcos? x
2e(??i?)x?e(??i?)xy2??e?xsin? x
2i则y1, y2是常系数齐次线性微分方程的两个解的线性组合，由解的结构定理，它们也是原微分方程的特解。显然，y1，y2线性无关。所以当常系数齐次线性微分方程有一对共轭复特征根时，它的通解为
c1y1?c2y2
总结上述讨论，得到下列定理：
定理 设常系数齐次线性微分方程的特征根是r1 , r2；c1 , c2为任意常数。 1) 若r1 , r2?R且r1?r2，则该方程的通解是
c1er1x?c2er2x；
2) 若r1 , r2?R且r1?r2?r0，则该方程的通解是
(c1?c2x)er0x；
3) 若r1???i?，r2???i?，则该方程的通解是
e?x(c1cos? x?c2sin? x)。
例： 求微分方程4y???4y??y?0满足初始条件yx?0?2，y?x?0?0的特解。
解：该微分方程的特征方程是
4r2?4r?1?0
它的特征根是
1r1?r2??
2它们是重特征根。所以，该微分方程的通解是
y?e y ? ? e ?1?x21?x2(c1?c2x)
11(c2?c1?c2x)
2212?c1 , 0?c2?c1
2将初始条件代入通解表达式，有
得c1?2 , c2?1。所以，所求特解为
y?e(2?x)
例： 求微分方程y???10y??34y?0的通解。
解：该微分方程的特征方程是
1?x2r2?10r?34?0
它的特征根是
r1?5?3i , r2?5?3i
所以，它的通解为
y?e5x(c1cos3x?c2sin3x)
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宏 观 经 济 数 量 分 析 方 法
上面对二阶常系数齐次线性微分方程求解过程的讨论可以推广到n阶常系数齐次线性微分方程的求解。为此，首先推广函数线性相关和线性无关的概念。
定义 设u1(x) , ? , um(x)是一组函数，若存在不全为零的常数k1 , ? , km，使得它们的线性组合
k1u1(x)???kmum(x)?0 称这组函数线性相关；若对任意k1 , ? , km，除k1???km?0外，k1u1(x)???kmum(x)都不恒等于零，称这组函数线性无关。
一组函数线性无关意味着该组函数的线性组合中的任意常数k1 , ? , km都是独立的。
定义 下列形式的微分方程称为n阶常系数齐次线性微分方程：
a0y(n)?a1y(n?1)???an?1y??any?0
称代数方程
a0rn?a1rn?1???an?1r?an?0
为微分方程的特征方程，其根为该微分方程的特征根。
容易证明，解的结构定理对n阶常系数齐次线性微分方程依然成立，并可扩充为下列定理：
定理 设u1(x),?,un(x)是常系数齐次线性微分方程的n个线性无关的特解，则它们的线性组合
c1u1(x)???cnun(x)
是该方程的通解。其中，c1, ?,cn是任意常数。
同样，不难证明：
定理 形如y?erx的函数是n阶常系数齐次线性微分方程的解的必要充分条件为r是它的特征根。
根据n阶常系数齐次线性微分方程的特征根的实根与复根、单根与重根的不同，它的n个线性无关的特解与特征根的对应关系如下： 1) 单实根 对应一个特解 e； 2) m重实根 对应m个特解 xe
irxrx
cos? x和e?xsin? x i?x4) m重复根 对应m对特解 xecos? x和xie?xsin? x
其中，i?0 , 1 , ? , m?1。
这样，可以用上面介绍的步骤求出n阶常系数齐次线性微分方程的通解。 例 求微分方程y(5)?y(4)?y????y???0的通解。
3) 一对单复根 对应一对特解 e解：该微分方程的特征方程是
r?r?r?r
232 ?r(r?r?r?1) ?r(r?1)(r?1)?0 它的五个特征根是
225432?xr1?r2?0 , r3?i , r4??i , r5?1
于是，该微分方程的五个线性无关的特解为
y1?e0x?1； y2?xe0x?x；
x?sinx； y3?e0xcosx?cosx； y4?e0xsiny5?ex；
所以，该5阶常系数齐次线性微分方程的通解为
y?c1y1?c2y2?c3y3?c4y4?c5y5
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微 分 方 程 与 差 分 方 程
?c1?c2x?c3cosx?c4sinx?c5ex
二阶常系数线性非齐次微分方程通解结构
二阶常系数线性非齐次微分方程的通解和与它对应的齐次方程的通解的联系非常密切。下面介绍此类微分方程解的性质。这些性质可以用来构造它的通解。
定理 设u1(x) , u2(x)是常系数线性非齐次微分方程的解，u0(x)是二阶常系数线性齐次微分方程的解。则
1) u1(x)?u0(x)是常系数线性非齐次微分方程的解；
2) u1(x)?u2(x)是常系数线性齐次微分方程。
根据上述定理，可以很容易得到常系数线性非齐次微分方程的通解表达式。
定理 设u(x)是常系数线性非齐次微分方程的一个特解，u0(x)是对应齐次方程的通解。则u1(x)?u0(x)是常系数线性非齐次微分方程的通解。
本定理常称为常系数线性非齐次微分方程解的结构定理。
本定理给出了求常系数线性非齐次微分方程的通解的基本步骤： 1) 求常系数线性非齐次微分方程所对应的齐次微分方程的通解； 2) 求出常系数线性非齐次微分方程的一个特解；
3) 将它们加起来即得常系数线性非齐次微分方程的通解。 常系数线性齐次微分方程的通解求法上一节已经介绍。因此，现在求常系数线性非齐次微分方程的解的关键是求它的一个特解。
求常系数线性非齐次微分方程的特解时，下列定理很有用。 定理 设u1(x) , u2(x)分别是下列非齐次方程的通解：
ay???by??cy?f1(x) ay???by??cy?f2(x)
则u1(x)?u2(x)是下列常系数线性非齐次微分方程通解：
ay???by??cy?f1(x)?f2(x)
求常系数线性非齐次微分方程的特解没有一般方法，通常需要根据非齐次项f(x)的不同类型，采用不同的方法。下面针对几类常见类型的非齐次项，介绍对应特解的求法。其中，Pm(x)，Qm(x)始终表示m次多项式。
f(x)?e?xPm(x)型
注意到常系数线性非齐次微分方程的左边是未知函数及它的导数的线性组合；以及指数函数与多项式之积的各阶导数仍然是指数函数与多项式之积。因此，可以认为它有指数函数与多项式之积这种函数类型的特解。为此，用待定系数法的方法，假设它有一个形如eQ(x)的特解，代入原微分方程，确定Q(x)的各项系数，从而求出它的一个特解，具体作法是： 设u(x)?e?xQ(x)是常系数线性非齐次微分方程的一个特解，其中，Q(x)是待定多项式。求导数得
?xu?(x)?e?x??Q(x)?Q?(x)?
u??(x)?e?x?2Q(x)?2?Q?(x)?Q??(x)
??代入原方程，有
au??(x)?bu?(x)?cu(x)
?ae?x?2Q(x)?2?Q?(x)?Q(x)
?x?x ?be??Q(x)?Q?(x)??ceQ(x)
?e?xPm(x)
消去e，并加以整理，得到
?x??Q??(x)?(2a??b)Q?(x)?(a?2?b??c)Q(x)?Pm(x)
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