全国名校高考数学复习优质学案汇编（附详解）
【精选名校模拟】
x2y21．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y?x与椭圆2?2?1(a?b?0)交于点A，
ab，且AB?B（A在x轴上方）积为2（如图1）.
26a.设点A在x轴上的射影为N，三角形ABN的面3
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（1）求椭圆的方程；
（2）设平行于AB的直线与椭圆相交，其弦的中点为Q. ①求证：直线OQ的斜率为定值；
②设直线OQ与椭圆相交于两点C， D（D在x轴上方），点P为椭圆上异于A， C， D一点，直线PA交CD于点E， PC交AB于点F，如图2，求证： AF?CEB，为定值.
x2y21【答案】（1）??1 (2) ①?②45 632【解析】
(2)设平行AB的直线的方程为y?x?m，且m?0，
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y?x?m① 联立{x2所以xQ? ，得到3x2?4mx?2m2?6?0， y2??163x1?x22mm， yQ?xQ?m?； ??233myQ1故，直线OQ的斜率为kOQ=?3??（定值）
xQ?2m231②由题意可知A2,2,AB:y?x,OQ:y??x，
2??1y??x,2联立方程组{2 得C?2,?1?,D??2,1?, 2xy??1,63设P?x0,y0?，先考虑直线斜率都存在的情形： 直线AP:y?2?y0?2x0?x?2?， ?2y0?2x?2?22?x0?y0?2?y0?x0??x0?2, 得E??, ??1?32?x0?2y032?x0?2y0?y??x2y?2?联立方程组： {??直线PC:y?1?y0?1?x?2?, x0?2联立方程组： {y?1?y0?1?x0?2y0?x?2?x0?2y0?x0?2, 得F??, 3?y?x3?y?x0000??y?x则AF?232?x0?2y02??23?y0?x0?2?1x0???2?2y0?3?y0?x0，
22?x0?y0?15232?2?1x0?2?2y0CE?1?2??，
4232?x0?2y032?x0?2y0????
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[32?2?1x0?2?2y0???45 所以AF?CE?10?3?y0?x0?32?x0?2y0??????2?当直线斜率不存在时结果仍然成立.
x22．如图，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C： ?y2?1的左顶点A作直线l，
4与椭圆C和y轴正半轴分别交于点P， Q．
（1）若AP?PQ，求直线l的斜率；
（2）过原点O作直线l的平行线，与椭圆C交于点M，N，求证：【答案】（1）k?32（2）见解析。 【解析】
AP?AQMN2为定值．
