数学建模
§2 经济增长模型
发展经济、增加生产有两个重要因素，一是增加投资（扩大厂房、购买设备、技术革新等），二是增加劳动力。恰当调节投资增长和劳动力增长的关系，使增加的产量不致被劳动力的增长抵消，劳动生产率才能不断提高，从而真正起到发展经济的作用。为此，需要分析产量、劳动力和投资之间变化规律，从而保证经济正常发展。 记 Q(t)—某地区、部门或企业在t时刻的产量
L(t)—某地区、部门或企业在t时刻的劳动力 K(t)?某地区、部门或企业在t时刻的资金
Z(t)—每个劳动力在t时刻占有的产量（劳动生产率）
一、道格拉斯（Douglas）生产函数
由于现在关心的是产量、劳动力、投资的相对增长量，不是绝对量， 所以定义
iQ(t)?Q(t)L(t)K(t),iL(t)? ，iK(t)?K(0)Q(0)L(0) （1）
分别称为产量指数、劳动力指数和投资指数。
在正常的经济发展过程中这三个指数都是随时间增长的，但它们之间的关系难以从机理分析得到，只能求助统计资料.Douglas从大量统计数据中发现下面的规律：
iQ(t)iL(t)如果令 ?(t)?ln，?(t)?lniK(t)iK(t)则散点(?,?)在?~?平面直角坐标系上的图象大致如下
（2）
?
? ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
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即大多数点靠近一条过原点的直线,这提示?和?的关系为 ????上式代入得
iQ(t)?iL(t)iK?1??(0???1) （3）
(t) （4）
记a?Q(0)L??(0)K??1(0)，则由（1）、（4），可得
Q(t)?aL?(t)K1??(t),(0???1,a?0) （5）
这就是经济学中著名的Douglas生产函数，它表明产量与劳动力、投资之间的关系。由（5）有
???QLK ???(1??)QLK （6）
?L??KQ（6）表明年相对增长量、、之间呈线性关系。且??1说明产量增长主要靠劳动力的
QLK增长；??0说明产量增长主要靠投资的增长。称?是产量对劳动力的弹性系数。
二、劳动生产率增长的条件
?L?Q?Q(t)Z定义 Z(t)?—劳动生产率，则??，由（6）代入
L(t)ZQL??L?ZK?(1??)(?) （7）则 ZKL??L?KZ
?，就能保证?0，即劳动生产率的提高需要由投资的相对增长大于劳动力可见，只要
ZKL的相对增长为前提条件。
问题：考虑到物价上升因素我们记物价上升指数为P(t)(设P(0)?1)，则产品的表面价值y(t)、实际价值Q(t)和物价指数P(t)之间满足y(t)?Q(t)P(t)。
（1）导出y(t)、Q(t)、P(t)的相对增长率之间的关系，并作解释。
（2）设雇佣工人数目为L(t)，每个工人工资为W(t),企业的利润简化为产品的收入y(t)中扣除工人的工资和固定成本，企业应雇佣多少工人能使利润最大。
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