2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
课时过关·能力提升
1.已知=(2,3),A(-1,2),则点B的坐标是( )
A.(1,1) B.(5,5) C.(1,5)
D.(1,3)
解析:设B(x,y),则有
=(x+1,y-2),
因此x+1=2,y-2=3,得x=1,y=5.即B(1,5). 答案:C 2.已知M(3,-2),N(-5,-1),且
,则点P的坐标为(
A.(-8,-1)
B.
C. D.(8,-1)
解析:由已知得=(-8,1),于是.
设P(x,y),则有x-3=-4,y+2=,
于是x=-1,y=-,故P.
答案:B 3.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于 A.-a+b
B.a-b
C.a-b D.-a+b
)
( )
1
解析:设c=xa+yb,于是有
即c=a-b. 答案:B 4.已知在?ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对角线AC,BD交于点O,则
的坐标为( )
A.
B.
C. D.
解析:如图所示,
=(-2,3)+(3,7)=(1,10),
∴.
∴.
答案:C 5.已知点A(3,-4),B(-1,2),点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为( )
A.
B.(-5,8)
C.或(-4,7) D.或(-5,8)
解析:当点P在线段AB上时,由|
|=2||可得=2,
设P(x,y),
则(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y), 因此
2
于是P.
当点P在线段AB的延长线上时,由|设P(x,y),则(-4,6)=(x+1,y-2), 解得x=-5,y=8,于是P(-5,8). 答案:D |=2||可得.
6.设点A,B,C,D的坐标依次为(-1,0),(3,1),(4,3),(0,2),则四边形ABCD的形状为 .
解析:如图所示,
=(0,2)-(-1,0)=(1,2),
=(4,3)-(3,1)=(1,2),
∴又|
|=|≠|
. ,||,
|=
,
∴|
∴四边形ABCD为平行四边形.
答案:平行四边形
7.已知正方形ABCD的边长为1.若点A与坐标原点重合,边AB,AD分别落在x轴、y轴的正方向上,则向量4
-3
的坐标为 .
解析:如图,各顶点的坐标为A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),
∴∴4
=(1,0),
-3
=(0,1),=(1,1).
=(1,-2).
答案:(1,-2)
8.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若
+λ
(λ∈R),则当λ= 时,点P在第一、三
象限的角平分线上;当λ 时,点P在第三象限内. 解析:设点P的坐标为(x,y),
3
则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3), +λ
=[(5,4)-(2,3)]+λ[(7,10)-(2,3)]
=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).
∵+λ,∴
∴
若点P在第一、三象限的角平分线上, 则5+5λ=4+7λ,∴λ=.
若点P在第三象限内,则∴λ<-1.
∴当λ=时,点P在第一、三象限的角平分线上;当λ<-1时,点P在第三象限内.
答案: <-1
9.(1)已知2a+b=(-4,3),a-2b=(3,4),求向量a,b的坐标.
(2)已知x轴的正方向与向量a的夹角为60°,且|a|=2,求向量a的坐标. 解:(1)
①×2+②,得5a=(-8+3,6+4)=(-5,10),
则a=(-1,2),故b=(-4,3)-2(-1,2)=(-4,3)-(-2,4)=(-2,-1). (2)设a=(x,y).
∵x=|a|cos 60°=2×=1,
y=±|a|sin 60°=±2×=±,
∴a=(1,±).
10.已知平面上四点A(-2,2),B(0,4),C(1,3),D(-1,1),判断四边形ABCD是否为平行四边形?若是,请给予证明;若不是,请说明理由. 解:四边形ABCD为平行四边形.
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