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等比数列的通项及求和的练习
A 1 “公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为
1的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c2三数成等比数列的充要条件是b2=ac”；“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A 2．命题1：若数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠1)，则数列{an}是等比数列；
命题2：若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a≠0)，则数列{an}是等差数列；
命题3：若数列{an}的前n项和Sn=na－n，则数列{an}既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
D 3．已知等比数列?an?中a2?1，则其前3项的和S3的取值范围是()
（Ａ）???,?1? （Ｂ）???,0???1,??? （Ｃ）?3,???（Ｄ）???,?1???3,???
C 4 在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝（ ）（A）33 （B）72 （C）84 （D）189 B 5 各项都为正数的等比数列{an}的前n项的和为Sn，若Sn?2,S3n?14,则S4n=( ) A 80 B 30 C 26 D 16 6设{an}是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1·a2·a3·?·a30=230，那么a3·a6·a9·?·a30等于A.210 B.220 C.216 D.215 827 7在与之间插入三个数，使得这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为
33___________486 8已知正项等比数列{an}中，a2?1?a1,a4?9?a3，则a4?a5?_____27_______ 9已知等 比数列{an}中，S4?1,S8?3,则a17?a18?a19?a20? _____16____ 10等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170， 则这个等比数列的项数为 _8__________ 11在等差数列｛an｝中，若a10＝0，则有等式a1+a2+?＋an=a1+a2+?＋a19－n（n＜19，n∈N成立.类比上述性质，相应地：在等比数列｛bn｝中，若b9＝1，则有等式 成立.b1b2?bn＝b1b2?b17－n（n＜17，n∈N*）；
12已知{an}是公差不为零的等差数列，a1?1且a1,a3,a9成等比数列.
（Ⅰ）求数列{an}的通项;
（Ⅱ）求数列{2n}的前n项和Sn.
a解 （Ⅰ）由题设知公差d≠0， 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得
1?2d1?8d＝， 11?2d
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解得d＝1，d＝0（舍去）， 故{an}的通项an＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知22
3
n
am=2，由等比数列前n项和公式得
n
2(1?2n)n+1Sm=2+2+2+?+2==2-2.
1?2已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1?a2?2(13
11?)，a1a2a3?a4?a5?64(12111（Ⅱ）设bn?(an?)，求数列??)（Ⅰ）求{an}的通项公式；
ana3a4a5{bn}的前n项和Tn。 2??a1a2?a1q?2?a1?1n?1?解：（1）由已知得：? ?a?2?n25??q?2?a1q?64 （2）Tn1?4?4?...?4=23n?11114n41n?2n?1??2?...?n?1?()?2n?1
=444334?14等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n?N ，点(n,Sn)，均在函数y?bx?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上. （1）求r的值； （11）当b=2时，记 bn??n?1(n?N?) 求数列{bn}的前n项和Tn4anx解:因为对任意的n?N,点(n,Sn)，均在函数y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上.所以得Sn?bn?r,当n?1时,a1?S1?b?r, 当n?2时,an?Sn?Sn?1?bn?r?(bn?1?r)?bn?bn?1?(b?1)bn?1,
又因为{an}为等比数列, 所以r??1, 公比为b, 所以an?(b?1)b（2）当b=2时，an?(b?1)b则Tn?n?1n?1?2n?1, bn?n?1n?1n?1??4an4?2n?12n?1234n?1?????2223242n?11234nn?1Tn??????? 345n?1n?2222222
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相减,得Tn?21111n?1???????222324252n?12n?211?(1?)n?11n?1123n?132??n?2??n?1?n?21422221?231n?13n?3所以Tn??n?n?1??n?122222
1215已知Sn为数列?an?的前n项和，a1?1，Sn?1?4an?2.
⑴设数列⑵设数列⑶求数列?bn?中，bn?an?1?2an，求证：?bn?是等比数列； ?cn?中，cn?an2n，求证：?cn?是等差数列； ?an?的通项公式及前n项和. ?bn?和?cn?中的项与?an?中的项有关，且Sn?1?4an?2，可利用an、Sn的关
?4an?2，?Sn?2?4an?1?2，两式相减，得 【解题思路】由于系作为切入点. 【解析】⑴?Sn?1Sn?2?Sn?1?4an?1?4an?an?2?4an?1?4an，? an?2?2an?1?2(an?1?2an) 又?bn?an?1?2an，?bn?1?2bn，由a1?1，Sn?4an?2，得 a2?5 ?b1?a2?2a1?3，??bn?是等比数列，bn?3?2n?1. ⑵由⑴知，an?2?4an?1?4an，且cn?an2n an?1anan?1?2anbn3?2n?13?n?1??. ?cn?1?cn?n?1?n?222n?122n?1431n?. 44aan3311n?2c?n??n??a?(3n?1)?2. ⑶?cn?n，且，?nnnn244244??cn?是等差数列，cn?当n?1时，(3?1)?21?2?1?a1，
?an?(3n?1)?2n?2，Sn?(3n?4)?2n?1?2.
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