广西科技大学 2012 — 2013 学年第 2 学期考试题
考核课程 时间序列分析（A卷）考核班级 统计101,102 学生数 73 印数 78 考核方式 闭卷 考核时间 120 分钟 题 号 评 分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总 分 评卷人 注：B为延迟算子，使得BYt?Yt?1。
一、单项选择题（每小题3 分，共24 分。）
1.关于严平稳与（宽）平稳的关系，不正确的为 （ A ） A. 严平稳序列一定是宽平稳序列 B. 当序列服从正态分布时，两种平稳性等价 C. 二阶矩存在的严平稳序列一定为宽平稳的 D. MA(p)模型一定是宽平稳的
2. 记B为延迟算子，则下列不正确的是（ B ） A. B0?X?(1?B)X?1 B. Xtt?ktk
)?Xt??YC. BXt?1?Xt?2 D. B(Xt?Yt1t?1
3. 下列关于AR（p）模型与MA（q）的说法正确的是（ A ） A. AR（p）的自相关系数拖尾，偏相关系数p阶截尾； B. MA（q）的自相关系数拖尾，偏相关系数q阶截尾； C. AR（p）的自相关系数与偏相关系数都拖尾； D. MA（q）的自相关系数与偏相关系数都是截尾；
4.下列四个MA模型中，可逆的是（ C ）
?2??.9??0.9?A. x； t?t?t?1 ； B. xt??t1t?1t?2?0.5??.9??0.9?C. x； D. x． t?t?t?1t??t1t?1t?2
5. 若零均值平稳序列?Xt?，其样本ACF呈现二阶截尾性，其样本PACF呈现拖尾性，则可初步认为对?Xt?应该建立（ A ）模型。
A. MA(2) B.ARMA(1,1) C.AR(2) D.ARIMA(2,1,2)
6. 考虑MA(2)模型Xt??t?1.1?t?1?0.24?t?2，则其MA特征方程的根是 （ D ）
105（A）?1?0.8，?2?0.3 （B）?1??,?2??
34105（C）?1??0.8，?2??0.3 （D） ?1?,?2?
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7. 设有模型Xt?(1??1)Xt?1??1Xt?2?et??1et?1，其中|?1|?1，则该模型属于（ B ） A.ARMA(2,1) B.ARIMA(1,1,1) C.ARIMA(0,1,1) D.ARIMA(1,2,1)
8. AR(2)模型Xt??t?1.1Xt?1?0.24Xt?2，其中D?t?0.04，则EXt?t?（ B ） （A）0 （B） 0.04 （C） 0.14 （D）0.2
二、填空题（每题3分，共24分）；
1. 时间序列?Yt?的周期为s的季节差分定义为： ?sYt?_____Yt?Yt?s______。
2. 已知AR（1）模型为：xt?0.7xt-1??t，?t~WN(0,??2)，则E(xt)=_______0_________, 偏自相关系数?11=_______0.7_________，?kk=________0_______（k>1）； 3. 若?Yt?满足： Yt??Yt?12?et??et?1， 则该模型为一个季节周期为s?__12_的乘法季节
ARMA(0,1)?(_1_,_0_)s模型。
4. 若已知时间序列?Yt?满足模型：Yt?2Yt?1?Yt?2?et，则其具体的ARIMA形式为__ARIMA(0,2,0)___。
?0.3?5.对于一阶滑动平均模型MA(1): Xt?t?t?1，则其一阶自相关函数为
____________??_其中??0.3_________________。 21??6.对于时间序列Yt?0.5Yt?1?et,et为零均值方差为?e2的白噪声序列，则
?e2_其中??0.5______________。 Va(Yrt)=________21???0.5X?0.4X??0.37. 设ARMA (2, 1)：X tt?1t?2tt?1 则所对应的AR特征方程为____1?0.5x?0.4x2?0__，其MA特征方程为___1?0.3x?0___。 8. AR(2)模型Yt??1Yt?1??2Yt?2?et平稳的充分必要条件是____AR特征方程1??1x??2x2?0__的根的模大于1（或者（见P52公式（4.3.11））_?1??2?1,?2??1?1,?2?1__)___。
??
三、计算题（每小问4分，共16分）
假定Acme公司的年销售额（单位：百万美元)符合AR(2)模型：Yt?5?1.1Yt?1?0.5Yt?2?et, 其中?e2?2。
（a）如果说2005年、2006年和2007年的销售额分别是900万美元，1100万美元和1000万
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美元，预测2008年和2009年的销售额。 （b）证明模型里的?1?1.1。
（c）计算问题（a)中2008年预测的95%预测极限。（z0.975?1.96)
（d）如果2008年的销售额结果为1200万美元，更新对2009年的预测。
解答: (a)应用P142公式(9.3.28)得
?(1)?5?1.1Y?0.5Y? 5 + 1.1(10) – 0.5(11) = 10.5（百万美元） Y200720072006?(2)?5?1.1Y?(1)?0.5Y? 5 + 1.1(10.5) – 0.5(10) = 11.55（百万美元） Y200720072007(b）由课本54页公式(4.3.21) , ?0?1，?1??1?0??1?1.1。
2（c)由课本第140页公式（9.3.15）知道：Var(et(l))??e2(1??12??2?...???t2?1)，2008年预测
?(1)?z?的95%预测极限为(Y20071?0.025Var(e2007(1)),Y2007(1)?z1?0.025Var(e2007(1)))，这里 ?(1e2007(1)?Y2008?Y?e2008，故Var(e2007(1))??e2?2，代入后简单计算得2008年预测的95 07）预测极限为（7.67,13.33）。
?(l)?Y?(l?1)??[Y?Y?(1)]，所以 （d)由148页更新方程（9.6.1）知 Yt?1tlt?1t?(1)?Y?(2)??[Y?Y?(1)]?11.55?1.1(12?10.5)?13.2（百万美元） Y20082007120082007
四、计算题（每小问6分，共12分）
1考虑满足方程 Yt?Yt?1?et 的AR(1)过程，
3111（a）证明： 对任意给定的常数c，Yt?c()t?et?et?1?()2et?2?...是该AR(1)方程的解；
333（b) (a)给出的解是否平稳？为什么？
1111解答：（a）将Yt?c()t?et?et?1?()2et?2?...代入到方程Yt?Yt?1?et，比较两边et?k的系
3333数发现两边确实相等。（具体验证略）
1(b)(a)给出的解是非平稳的，因为其均值函数E(Yt)?c()t非常数。
3
五、计算题（每小题6分，共12分）
试用特征根判别法或平稳域判别法检验下列AR模型的平稳性。
11 （a）xt?xt-1?xt-2??t （b）xt?xt-1?2xt-2??t
66解答：特征根判别法：该模型平稳当且仅当其AR特征方程的根的模大于1。 平稳域判别法：AR(2)模型平稳当且仅当满足以下条件：?1??2?1,|?2|?1。
（a) 平稳 (b)不平稳（具体验证略）
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六、计算题（每小题6分，共12分）
对下列每个ARIMA模型，求E(?Yt)和Var(?Yt)。 （a) Yt?3?Yt?1?et?0.75et?1
（b) Yt?10?1.25Yt?1?0.25Yt?2?et?0.1et?1
解：（a) 原模型可变形为 ?Yt?3?et?0.75et?1, 注意到et为零均值方差为?e2的白噪声序列。
E(?Yt)?E(3?et?0.75et?1)?3??252 所以有 ?22Var(?Y)?Var(3?e?0.75e)?(1?0.75)???ettt?1e?16?
（b)原模型可变形为 ?Yt?10?0.25?Yt?1?et?0.1et?1, 因此{?Yt}为一个平稳可逆的ARMA(1,1)模型。同时注意到et为零均值方差为?e2的白噪声序列，所以我们有
E(?Yt)?E(10?0.25?Yt?1?et?0.1et?1)?10?0.25E(?Yt)（?平稳性）
1040? ?E(?Yt)?
1?0.253另一方面， Var(?Yt)?Var(10?0.25?Yt?1?et?0.1et?1)
?0.252Var(?Yt?1)?Var(et?0.1et?1)?2Cov(0.25?Yt?1,et?0.1et?1) ??(1?1Var(?Yt)?(1?0.01)?e2?2E[0.25?Yt?1(et?0.1et?1)] 161)Var(?Yt)?(1?0.01)?e2?0.5E(?Yt?1et)?0.05E(?Yt?1et?1) 16 ?(1?0.01)?e2?0?0.05E(Yt?1et?1)?1.01?e2?0.05E(et?1et?1)?0.96?e2 所以有 Var(?Yt)?0.9616?e2?1.024?e2。 15第 4 页（共 4 页）
