解答过程：①连接BC1，设∠BD1C1＝α，长方体三条棱 长分别为a，b，c，设D1B＝l
a2b2c222
则cosα＝2 同理cosβ＝2，cos?＝2
lll2
a2＋b2＋c2∴cosα＋cosβ＋cos?＝＝1 2l2
2
2
②连接D1C，∵ BC⊥平面DCC1D1
a2＋b2 ∴ ∠BD1C即是D1B与平面DCC1D1所成的角，不妨设∠BD1C＝α，则cosα＝ 2l2
b2＋c2c2?a22
同理：cosβ＝，cos?＝.
l2l22
又∵l2＝a2＋b2＋c2.
2222(a＋b＋c)∴cos2α＋cos2β＋cos2?＝＝2. 2l考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算
棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积，棱柱侧面积转化成求三角形的面积. 直棱柱体积V等于底面积与高的乘积. 棱锥体积V等于典型例题
例15. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝A1在底面△ABC上的射影O在AC上 ① 求AB与侧面AC1所成角；
② 若O恰好是AC的中点，求此三棱柱的侧面积. [思路启迪]
①找出AB与侧面AC1所成角即是∠CAB；
②三棱锥侧面积转化成三个侧面面积之和，侧面BCC1B1是正方形，侧面ACC1A1和侧面ABB1A1是平行四边形，分别求其面积即可.
21
1Sh其中S是底面积，h是棱锥的高. 32a，BC＝CA＝AA1＝a，
A1
C1
B1
A
D O C
B
解答过程：①点A1在底面ABC的射影在AC上， ∴ 平面ACC1A1⊥平面ABC. 在△ABC中，由BC＝AC＝a，AB＝∴ ∠ACB＝90°，∴ BC⊥AC. ∴ BC⊥平面ACC1A1.
即 ∠CAB为AB与侧面AC1所成的角在Rt△ABC中，∠CAB＝45°. ∴ AB与侧面AC1所成角是45°.
② ∵ O是AC中点，在Rt△AA1O中，AA1＝a，AO＝
2a.
13a. ∴ AO1＝a. 22 ∴ 侧面ACC1A1面积S1＝AC?AO1＝ 又BC⊥平面ACC1A1 ， ∴ BC⊥CC1.
32a. 2 又BB1＝BC＝a ，∴ 侧面BCC1B1是正方形，面积S2＝a2. 过O作OD⊥AB于D ，∵ A1O⊥平面ABC，∴A1D⊥AB. 在Rt△AOD中，AO＝
A
12a ，∠CAD＝45°∴ OD＝a 242OD2＋A1O＝（M
K N
在Rt△A1OD中，A1D＝
2232 a）＋（a）42B
A
L
C
＝
7a. 8∴ 侧面ABB1A1面积S3＝AB?A1D＝2a?772a＝a.
282N
M
K L
B C
∴ 三棱柱侧面积 S＝S1＋S2＋S3＝（2＋3＋7）a.
例16. 等边三角形ABC的边长为4，M、N分别为AB、AC的中点，沿MN将△AMN折起，使得面AMN与面MNCB所成的二面角为30°，则四棱锥A—MNCB的体积为 （ ）
12A、
33 B、 C、3 D、3 22 22
[思路启迪]先找出二面角平面角，即∠AKL ,再在△AKL中求出棱锥的高h，再利用V＝可.
解答过程：在平面图中，过A作AL⊥BC，交MN于K，交BC于L. 则AK⊥MN，KL⊥MN. ∴ ∠AKL＝30°.
则四棱锥A—MNCB的高h＝AK?sin30?＝
1Sh 即33. 2SMNCB＝2＋4?KL＝3?3. 2∴ VA－MNCB＝?33?∴ 答案 A
1333＝. 22例17.如图，四棱锥P—ABCD中，底面是一个矩形，AB＝3，AD＝1，又PA⊥AB，PA＝4，∠PAD＝60°
① 求四棱锥的体积；
② 求二面角P－BC－D的大小.
思路启迪①找棱锥高线是关键，由题中条件可设△PAD的高PH即是棱锥的高. ②找出二面角平面角∠PEH，在Rt△PHE中即可求出此角. 解答过程：①∵ PA⊥AB ，AD⊥AB. ∴ AB⊥面PAD .又AB?面ABCD.
∴ 面PAD⊥面ABCD.在面PAD内，作PH⊥AD交AD延长线于H. 则PH⊥面ABCD ，即PH就是四棱锥的高. 又∠PAD＝60°，∴ PH＝ PA?sin60?＝4?P
H D
A
B
E C
3＝23. 2∴ VP－ABCD＝?SABCD?PH＝?3?1?23＝23.
② 过H作HE⊥BC交BC延长线于E，连接PE，则HE＝AB＝3. ∵ PH⊥面ABCD， ∴ PE⊥BC. ∴ ∠PEH为二面角P－BC－D的平面角.
1313 ∴ tan∠PEH＝
23PH23.即二面角的大小为 arctan. ＝3HE323
例18 .（2006年全国卷Ⅱ）已知圆O1是半径为R的球O的一个小圆，且圆O1的面积与球O的表面积的比值为的比值为 .
命题目的：①球截面的性质；②球表面积公式.
2，则线段OO1与R9O O1 r R A r过程指引：依面积之比可求得，再在Rt△OO1A中即得
R解答过程：设小圆半径为r，球半径为R
则?r24?R2＝29 ? r24R2＝29 ?∴ cos∠OAO221＝
rR＝3 而
OO18R＝sinα＝1－19＝3 故填13
r22R＝3 24
