1993年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)函数F(x)??x1(2?1t)dt(x?0)的单调减少区间为_____________.
(2)由曲线 3x2?2y2?12绕z?0y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量为
_____________.
2a?(3)设函数f(x)??x?x(???x??)的傅里叶级数展开式为02??(ancosnx?bnsinnx),则其中系数b3n?1的值为_____________.
(4)设数量场u?lnx2?y2?z2,则div(gradu)=_____________.
(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n?1,则线性方程组AX?0的通解为_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)??sinx20sin(t)dt,g(x)?x3?x4,则当x?0时,f(x)是g(x)的
(A)等价无穷小
(B)同价但非等价的无穷小 (C)高阶无穷小
(D)低价无穷小
(2)双纽线(x2?y2)2?x2?y2所围成的区域面积可用定积分表示为
??(A)2?40cos2?d?
(B)4?40cos2?d?
?(C)2?4cos2?d?
(D)1?2?40(cos2?)20d?
(3)设有直线lx?1y?5z?8x?y?61:1??2?1与l2: 2y?z?3则l1与l2的夹角为 (A)
?6 (B)
?4 (C)?3
(D)?2
(4)设曲线积分
?L[f(t)?ex]sinydx?f(x)cosydy与路径无关,其中f(x)具有一阶连续导数,且f(0)?0,则
f(x)等于
x(A)e?x?ex2
e?e?x(B)2
ex?e?xxx(C)2?1
(D)1?e?e?2
?123?(5)已知Q???24t?,P为三阶非零矩阵,且满足PQ?0,则 ?69??3??(A)t?6时P的秩必为1
(B)t?6时P的秩必为2 (C)t?6时P的秩必为1
(D)t?6时P的秩必为2
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求lim(sin2x??x?cos1x)x.
(2)求?xexex?1dx.
(3)求微分方程x2y??xy?y2,满足初始条件yx?1?1的特解.
四、(本题满分6分) 计算
???2xzdydz?yzdzdx?z2dxdy,其中?是由曲面z?x2?y2与z?2?x2?y2所围立体的表面外侧. ?
五、(本题满分7分)
?求级数?(?1)n(n2?n?1)的和. n?02n
13
六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设在[0,??)上函数f(x)有连续导数,且f?(x)?k?0,f(0)?0,证明f(x)在(0,??)内有且仅有一个零
点. (2)设b?a?e,证明ab?ba.
七、（本题满分8分）
已知二次型f(xx22221,2,x3)?2x21?3x2?3x3?2ax2x3(a?0)通过正交变换化成标准形f?y21?2y2?5y3,求
参数a及所用的正交变换矩阵.
八、（本题满分6分）
设A是n?m矩阵,B是m?n矩阵,其中n?m,I是n阶单位矩阵,若AB?I,证明B的列向量组线性无关.
九、（本题满分6分）
设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点(?1,0)与A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.
(2)设随机变量X服从(0,2上)的均匀分布,则随机变量Y?X2在(0,4)内的概率分布密度
fY(y)=____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X的概率分布密度为f(x)?1?2ex,???x???. (1)求X的数学期望EX和方差DX.
(2)求X与X的协方差,并问X与X是否不相关? (3)问X与X是否相互独立?为什么?
14
1994年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)limcot1x?0?(sinx?1x)= _____________.
(2)曲面z?ex?2xy?3在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.
(3)设u?e?xsinx?2u1y,则?x?y在点(2,?)处的值为_____________.
设区域D为x2?y2?R2,则??(x2y2(4)2?2)dxdy=_____________.
Dab(5)已知α?[1,2,3],β?[1,1,1],设A?α?β,其中α?是α的转置,则An23=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
?(1)设M??2sinx????cos4xdx,N??234?(sinx?cosx)dx,P?21?x2?2?2??(x2sin3x?cos4x)dx,则有 2(A)N?P?M (B)M?P?N (C)N?M?P
(D)P?M?N
(2)二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx?(x0,y0)、fy?(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的 (A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件
(C)充分必要条件
(D)既非充分条件又非必要条件
??(3)设常数??0,且级数a2?n收敛,则级数?(?1)nann?11n2?? n?(A)发散 (B)条件收敛
(C)绝对收敛
(D)收敛性与?有关
(4)limatanx?b(1?cosx)x?0cln(1?2x)?d(1?e?x2)?2,其中a2?c2?0,则必有
(A)b?4d (B)b??4d (C)a?4c
(D)a??4c
(5)已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组 (A)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (B)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (C)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (D)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
x?cost2() (1)设 2y?tcost(2?)?t1cuduos,求dydx、d2y?dx2在t?12u2的值.
(2)将函数f(x)?14ln1?x1?x?12arctanx?x展开成x的幂级数.
(3)求
?dxsin(2x)?2sinx.
四、(本题满分6分)
计算曲面积分??xdydz?z2dxdy,其中是由曲面x2?y2?R2及z?R,z??R(R?0)Sx2?y2?z2S两平面所围成立体表面的外侧.
五、(本题满分9分)
设f(x)具有二阶连续函数,f(0)?0,f?(0)?1,且[xy(x?y)?f(x)y]dx?[f?(x)?x2y]dy?0为一全微分
方程,求f(x)及此全微分方程的通解.
15
六、(本题满分8分) ? 设f(x)在点x?0的某一邻域内具有二阶连续导数,且limf(x)1?0x?0,证明级数?f()绝对收敛.
xn?1n
七、（本题满分6分）
已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由S及两平面z?0,z?1所围成的立体体积.
八、（本题满分8分） 设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为 x1?x2?0x2?x4?0,
又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)?k2(?1,2,2,1). (1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.
(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.
九、（本题满分6分）
设A为n阶非零方阵,A*是A的伴随矩阵,A?是A的转置矩阵,当A*?A?时,证明A?0.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)已知A、B两个事件满足条件P(AB)?P(AB),且P(A)?p,则P(B)=____________. (2)设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布率,且X的分布率为
X 0 1 P 1 122 则随机变量Z?max{X,Y}的分布率为____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42),且X与Y的相关系数?1Xxy??2,设Z?3?Y2, (1)求Z的数学期望EZ和DZ方差.
(2)求X与Z的相关系数?xz. (3)问X与Y是否相互独立?为什么?
16
