河北省衡水中学2015届高三上学期第四次调考数学试卷（理科）
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．（5分）已知向量=（2，1）， A．
B．
=10，|+|=
C． 5
，则||=（）
D．25
，则?z（）
C． 1
D．2
2．（5分）已知是z的共轭复数，复数z= A．
B．
3．（5分）育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（） A． 80种 B． 90种 C． 120种 D．150种
4．（5分）曲线y=1﹣ A． y=2x+1
在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（） B． y=2x﹣1
C． y=﹣2x﹣3
D．y=﹣2x﹣2
5．（5分）等比数列{an}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′
（0）=（） A． 26 B． 29 C． 215 D．4096
6．（5分）经过双曲线：这样的直线有几条（） A． 1条 B． 2条
的右焦点的直线与双曲线交于两点A，B，若AB=4，则
C． 3条 D．4条
的最小正周期
7．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）为π，且f（﹣x）=f（x），则（） A． f（x）在 C． f（x）在（0，
单调递减 ）单调递增
B． f（x）在（D． f（x）在（
，，
）单调递减 ）单调递增
8．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程=x+a中的b=10.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（）
广告费用x（万元） 4 2 3 5
销售额y（万元） 49 26 39 A． 112.1万元 B． 113.1万元
58
C． 111.9万元
D．113.9万元
，则椭圆
9．（5分）椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足C的离心率e的取值范围是（） A． C．
B． D．
或
10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=若球O的体积为
，则这个直三棱柱的体积等于（）
，
A． B． C． 2 D．
11．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC′|=2的点P的个数为（）
A． 4 B． 6 C． 8 D．12 12．（5分）定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实常数t使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”．有下列“关于t函数”的结论：
①f（x）=0是常数函数中唯一一个“关于t函数”； ②“关于函数”至少有一个零点；
③f（x）=x是一个“关于t函数”． 其中正确结论的个数是（） A． 1 B． 2 C． 3 D．0
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．把每小题的答案填在答题纸的相应位置）
22
13．（5分）已知圆C：（x﹣3）+（y﹣4）=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则AB的最大值为．
2
14．（5分）抛物线y=4x上一点P到直线x=﹣1的距离与到点Q（2，2）的距离之差的最大值为．
15．（5分）（x+）（2x﹣）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为．
16．（5分）一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的． （填入所有可能的图形前的编号）
①锐角三角形 ②直角三角形 ③钝角三角形 ④四边形 ⑤扇形 ⑥圆．
三、解答题（共6个题，共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置） 17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC﹣（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求△ABC的周长的取值范围．
18．（12分）已知数列{an}与{bn}，若a1=3且对任意正整数n满足an+1﹣an=2，数列{bn}的前n项和
．
=b．
5
2
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列
19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点． （Ⅰ）证明B1C1⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．
（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为的长．
，求线段AM
的前n项和Tn．
20．（12分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知f（x）=x﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）． （1）若h（x）的单调减区间是（，1），求实数a的值；
（2）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设h（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，）．若h（x1）﹣h（x2）＞m恒成立，求m的最大值．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=60°，∠ABC=90°，BC=3，CD=5．求对角线BD、AC的长．
2
+2|=|﹣2|
23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），
直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P． （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）求
+
的值．
24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）
（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；
（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．
