变式3：已知圆C:(x?1)?(y?2)?6，直线l:mx?y?1?m?0. （1）求证：不论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点； （2）求直线l被圆C截得的弦长最小时l的方程.
解：（1）∵直线l:y?1?m(x?1)恒过定点P(1,1)，且PC?5?r?226，∴点P在圆内，∴直
线l与圆C恒交于两点.
（2）由平面几何性质可知，当过圆内的定点P的直线l垂直于PC时，直线l被圆C截得的弦长最小，此时kl??1kPC?2，∴所求直线l的方程为y?1?2(x?1)即2x?y?1?0.
10.（必修2 P.106练习 第2题）
变式1：（2006年安徽卷）直线x?y?1与圆x?y?2ay?0(a?0)没有公共点，则a的取值范围是（ ）
A.(0,2?1) B.(2?1,2?1) C.(?2?1,2?1) D.(0,2?1) 解：依题意有
22a?12?a，解得?2?1?a?2?1.∵a?0，∴0?a?2?1，故选（A）.
22变式2：（2006年湖北卷）若直线y?kx?2与圆(x?2)?(y?3)?1有两个不同的交点，则k的取值范围是 . 解：依题意有
2k?1k2?1?1，解得0?k?44，∴k的取值范围是(0,). 33变式3：若直线y?x?m与曲线y?解：∵曲线y?4?x2有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.
4?x2表示半圆x2?y2?4(y≥0)，∴利用数形结合法，可得实数m的取值范围
是?2≤m?2或m?22.
11.（必修2 P.107练习1）
变式1：（1995年全国卷）圆x?y?2x?0和圆x?y?4y?0的位置关系是（ ） A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
解：∵圆(x?1)?y?1的圆心为O1(1,0)，半径r1?1，圆x?(y?2)?4的圆心为O2(0,?2)，半径r2?2，∴O1O2?5,r1?r2?3,r2?r1?1.∵r2?r1?O1O2?r1?r2，∴两圆相交，故选（C）.
变式2：若圆x?y?2mx?m?4?0与圆x?y?2x?4my?4m?8?0相切，则实数m的
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22222222222222取值集合是 .
解：∵圆(x?m)?y?4的圆心为O1(m,0)，半径r1?2，圆(x?1)?(y?2m)?9的圆心为
2222O2(?1,2m)，半径r2?3，且两圆相切，∴O1O2?r1?r2或O1O2?r2?r1，∴
(m?1)2?(2m)2?5或(m?1)2?(2m)2?1，解得m??∴实数m的取值集合是{?125或m?2，或m?0或m??，52125,?,0,2}. 5222变式3：求与圆x?y?5外切于点P(?1,2)，且半径为25的圆的方程.
22解：设所求圆的圆心为O1(a,b)，则所求圆的方程为(x?a)?(y?b)?20.∵两圆外切于点P，
1122∴OP?OO1，∴(?1,2)?(a,b)，∴a??3,b?6，∴所求圆的方程为(x?3)?(y?6)?20.
33
12.（必修2 P.108习题2.2(2)第8题）
变式1：（2006年湖南卷）圆x?y?4x?4y?10?0上的点到直线x?y?14?0的最大距离与最小距离的差是（ ）
A.36 B.18 C.62 D.52
解：∵圆(x?2)?(y?2)?18的圆心为（2，2），半径r?32，∴圆心到直线的距离
2222d?102?52?r，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
(d?r)?(d?r)?2r?62，故选（C）.
变式2：已知A(?2,0)，B(2,0)，点P在圆(x?3)?(y?4)?4上运动，则PA?PB的最小值是 .
解：设P(x,y)，则PA?PB?(x?2)2?y2?(x?2)2?y2?2(x2?y2)?8?2OP?8.设圆心为
2222222C(3,4)，则OPmin?OC?r?5?2?3，∴PA?PB的最小值为2?32?8?26.
变式3：已知点P(x,y)在圆x?(y?1)?1上运动.
2222y?1的最大值与最小值；（2）求2x?y的最大值与最小值. x?2y?1?k，则k表示点P(x,y)与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切时，k取得解：（1）设
x?2（1）求
最大值与最小值.由
2kk2?1?1，解得k??333y?1，∴的最大值为，最小值为?. 333x?2第 18 页 共 44 页
（2）设2x?y?m，则m表示直线2x?y?m在y轴上的截距. 当该直线与圆相切时，m取得最
大值与最小值.由
1?m5?1，解得m?1?5，∴2x?y的最大值为1?5，最小值为1?5.
13.（必修2 P.117 复习题15）
变式1：（2006年四川卷）已知两定点A(?2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PA?2PB，则点P的轨迹所包围的面积等于（ ）
A.? B.4? C.8? D.9? 解：设点P的坐标是(x,y).由PA?2PB，得
(x?2)2?y2?2(x?1)2?y2，化简得
(x?2)2?y2?4，∴点P的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为4?，故选（B）.
变式2：（2004年全国卷）由动点P向圆x?y?1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，
22?APB=600，则动点P的轨迹方程是 .
解：设P(x,y).∵?APB=60，∴?OPA=30.∵OA?AP，∴OP?2OA?2，∴x2?y2?2，化简得x?y?4，∴动点P的轨迹方程是x?y?4.
变式3：（2003年北京春季卷）设A(?c,0),B(c,0)(c?0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a?0)，求P点的轨迹.
22220
0
解：设动点P的坐标为P(x,y).由
PAPB?a(a?0)，得
(x?c)2?y2(x?c)?y22?a，
化简得(1?a2)x2?(1?a2)y2?2c(1?a2)x?c2(1?a2)?0.
1?a2ac22c(1?a2)222当a?1时，化简得x?y?，整理得(x?c)?y?()； x?c?0a2?1a2?11?a2222当a?1时，化简得x?0.
1?a22acc,0)为圆心，2所以当a?1时，P点的轨迹是以(2为半径的圆；
a?1a?1当a?1时，P点的轨迹是y轴.
14.（必修2 P.118 复习题 第25题）
已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆(x?1)?y?4上运动，求线段AB的中点M22第 19 页 共 44 页
的轨迹方程.
变式1：已知定点B(3,0)，点A在圆x?y?1上运动，M是线段AB上的一点，且AM?则点M的轨迹方程是（ ）
A.(x?1)?y?9 B.(x?3)?y?1
2222221MB，391622 D.(x?1)?y? 16911解：设M(x,y),A(x1,y1).∵AM?MB，∴(x?x1,y?y1)?(3?x,?y)，
33C.(x?)?y?223414??x?x?(3?x)x?x?111????332222∴?，∴?.∵点A在圆x?y?1上运动，∴x1?y1?1，∴?y?y??1y?y?4y11??33??443939(x?1)2?(y)2?1，即(x?)2?y2?，∴点M的轨迹方程是(x?)2?y2?，故选（C）. 33416416变式2：已知定点B(3,0)，点A在圆x?y?1上运动，?AOB的平分线交AB于点M，则点M的轨迹方程是 .
解：设M(x,y),A(x1,y1).∵OM是?AOB的平分线，∴AM?OA?1， ∴AM?1MB.由变式1
3MBOB3可得点M的轨迹方程是(x?)2?y2?222349. 162变式3：已知直线y?kx?1与圆x?y?4相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形
OAPB，求点P的轨迹方程.
解：设P(x,y)，AB的中点为M.∵OAPB是平行四边形，∴M是OP的中点，∴点M的坐标为
xy(,)，且OM?AB.∵直线y?kx?1经过定点C(0,1)，∴OM?CM，∴22xyxyxyy22OM?CM?(,)?(,?1)?()2?(?1)?0，化简得x?(y?1)?1.∴点P的轨迹方程是
2222222x2?(y?1)2?1.
15.（必修2 P.99 例题1）
变式1：某圆拱桥的水面跨度是20m，拱高为4m.现有一船宽9m，在水面以上部分高3m，故通行无阻.近日水位暴涨了1.5m，为此，必须加重船载，降低船身.当船身至少应降低 m时，船才能通过桥洞.（结果精确到0.01m） 解：建立直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为x?(y?b)?r.
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