C．钝角三角形D．等腰直角三角形 答案 B
解析 由正弦定理知：sinAsinBsinC
cosA＝cosB＝cosC
，
∴tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C.
3．在△ABC中，sinA＝3
4
，a＝10，则边长c的取值范围是( )
A.?15
?2，＋∞??
B．(10，＋∞) C．(0,10) D.??
0，403?? 答案 D
解析 ∵casinC＝sinA＝403，∴c＝40
3sinC.
∴0 3 . 4．在△ABC中，a＝2bcosC，则这个三角形一定是( ) A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形 答案 A 解析 由a＝2bcosC得，sinA＝2sinBcosC， ∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C， ∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C， ∴sin(B－C)＝0，∴B＝C. 5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于(A．6∶5∶4 B．7∶5∶3 C．3∶5∶7 D．4∶5∶6 答案 B 解析 ∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6， ∴b＋cc＋aa＋b4＝5＝6. 令b＋cc＋a4＝5＝a＋b6＝k (k>0)， a＝7?2 k则? b＋c＝4k?c＋a＝5k??a＋b＝6k ?，解得??b＝5 ?2k ?c＝32k . ∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3. 6．已知三角形面积为1 4 ，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( ) A．1B．2 C.1 2 D．4 答案 A 解析 设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π， 得R＝1，由S1abcabc1 △＝2absinC＝4R＝4＝4 ，∴abc＝1. 二、填空题 7．在△ABC中，已知a＝32，cosC＝1 3 ，S△ABC＝43，则b＝________. ) 答案 23 122 解析 ∵cosC＝，∴sinC＝， 33 1 ∴absinC＝43，∴b＝23. 2 8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝3，b＝1，则c＝________. 答案 2 ab31 解析 由正弦定理＝，得＝， sinAsinBsin60°sinB 1 ∴sinB＝，故B＝30°或150°.由a>b， 2 得A>B，∴B＝30°，故C＝90°， 由勾股定理得c＝2. ab2c 9．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋ sinA2sinBsinC ＝________. 答案 7 解析 ∵△ABC的外接圆直径为2R＝2， abc∴＝＝＝2R＝2， sinAsinBsinCab2c∴＋＋＝2＋1＋4＝7. sinA2sinBsinC a＋b＋c 10．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则＝________， sinA＋sinB＋sinC c＝________. 答案 12 6 a＋b＋ca63 解析 ＝＝＝12. sinA＋sinB＋sinCsinA3 2 11 ∵S△ABC＝absinC＝×63×12sinC＝183， 221ca ∴sinC＝，∴＝＝12，∴c＝6. 2sinCsinA 三、解答题 a－ccosBsinB 11．在△ABC中，求证：＝. b－ccosAsinAabc 证明 因为在△ABC中，＝＝＝2R， sinAsinBsinC 2RsinA－2RsinCcosB 所以左边＝ 2RsinB－2RsinCcosA sin?B＋C?－sinCcosBsinBcosCsinB＝＝＝＝右边． sin?A＋C?－sinCcosAsinAcosCsinA a－ccosBsinB 所以等式成立，即＝. b－ccosAsinA 12．在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状． 解 设三角形外接圆半径为R，则a2tanB＝b2tanA a2sinBb2sinA?＝ cosBcosA 4R2sin2AsinB4R2sin2BsinA?＝ cosBcosA?sinAcosA＝sinBcosB ?sin2A＝sin2B ?2A＝2B或2A＋2B＝π π ?A＝B或A＋B＝. 2 ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 能力提升 13．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A．45°B．60°C．75°D．90° 答案 C 解析 设C为最大角，则A为最小角，则A＋C＝120°， －A)sinCsin(120° ∴＝ sinAsinAsin120°cosA－cos120°sinA＝ sinA3＋13131 ＝＋＝＝＋， 2tanA2222∴tanA＝1，A＝45°，C＝75°. π 14．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝， 4 B25cos＝，求△ABC的面积S. 25 B3 解 cosB＝2cos2－1＝， 25 4 故B为锐角，sinB＝. 5 3π72－B?＝所以sinA＝sin(π－B－C)＝sin??4?10. asinC10 由正弦定理得c＝＝， sinA7111048 所以S△ABC＝acsinB＝×2××＝. 227571．在△ABC中，有以下结论： (1)A＋B＋C＝π； (2)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C； A＋BCπ(3)＋＝； 222A＋BA＋BA＋BCC1(4)sin ＝cos ，cos ＝sin ，tan ＝. 22222Ctan 22．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明． 1．1.2 余弦定理(一) 课时目标 1．熟记余弦定理及其推论； 2．能够初步运用余弦定理解斜三角形． 1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C. 2．余弦定理的推论 b2＋c2－a2c2＋a2－b2a2＋b2－c2 cosA＝；cosB＝；cosC＝. 2bc2ca2ab 3．在△ABC中： (1)若a2＋b2－c2＝0，则C＝90°； 222 (2)若c＝a＋b－ab，则C＝60°； 222 (3)若c＝a＋b＋2ab，则C＝135°. 一、选择题 1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于( ) A.3B．3 C.5D．5 答案 A 2．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为( ) ππA.B. 36ππC.D. 412答案 B 解析 ∵a>b>c，∴C为最小角， a2＋b2－c2 由余弦定理cosC＝ 2ab 72＋?43?2－?13?23π＝＝.∴C＝. 262×7×43 3．在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于( ) A．1B.2C．2D．4 答案 C a2＋b2－c2c2＋a2－b22a2 解析 bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＝a＝2. 2ab2ac2a 4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于( ) 1322A.B.C.D. 4443答案 B 解析 ∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝2a， a2＋c2－b2a2＋4a2－2a23 ∴cosB＝＝＝. 2ac2a·2a4 Ac－b 5．在△ABC中，sin2＝ (a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形 22c 状为( ) A．正三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰三角形 答案 B A1－cosAc－b 解析 ∵sin2＝＝， 222c
