大 学
本科毕业论文（设计）
题目：浅谈圆锥曲线的性质及其应用
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浅谈圆锥曲线的性质及其应用
摘要：本文通过探究圆锥曲线在解析几何中的分类，总结三类非退化圆
锥曲线的性质，着重研究其性质在解题和在生活中的应用。主要利用平面解析几何的知识以及数形结合等思想方法，对圆锥曲线的性质进行了系统的证明和总结，并且对其性质的应用大量举例并进行了详细说明。
关键词：圆锥曲线；圆锥曲线的性质；应用。
Properties And Applications of Conic Curve
Abstract: Through the classification of conic curve in analytic geometry, summarizes the properties of three kinds of non degenerate conic, focused on the research of the properties in solution and in life. The main use of the knowledge of the plane analytic geometry and the number shape union thinking methods, properties of conic curves were systematically demonstrated and summarized, and the application of its nature lots of examples and detailed.
Key words: conic; conic’s properties; application.
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目 录
一、圆锥曲线的产生与发展................................................. 1 二、圆锥曲线的分类及性质................................................. 2 （一） 圆锥曲线的分类 .................................................. 2 （二）圆锥曲线的性质................................................... 3 1．椭圆.............................................................. 3 2. 双曲线 ............................................................ 6 3.抛物线............................................................. 8 三、 圆锥曲线性质的应用 ................................................. 11 （一）圆锥曲线的性质在解题中的应用.................................... 11 1.应用椭圆性质解题.................................................. 12 2.应用双曲线的性质解题.............................................. 16 3.应用抛物线的性质解题.............................................. 20 （二）圆锥曲线性质的实际应用.......................................... 23 1.用圆锥曲线刻画自然界中物体的运动.................................. 23 2.圆锥曲线的光学特性在科技中的应用.................................. 23 3.圆锥曲线性质在建筑、生产用品制造中的应用.......................... 24 四、结语................................................................ 25 参考文献：.............................................................. 26
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天津师范大学数学科学学院 浅谈圆锥曲线的性质及其应用
一、圆锥曲线的产生与发展
公元前4世纪，希腊学者梅内克缪斯在企图解决当时著名的 “倍立方问题”难题时，将RtABC的直角A的平分线AO作为轴，把ABC旋转一周，得到曲面ABECE'，如图1。然后用垂直于AC的平面截此曲面，于是得到曲线EDE'，梅内克缪斯称该曲线为“直角圆锥曲线”。他想借此在理论上解决倍立方问题，然而却以失败告终。而后，他便撇开“倍立方问题”，将圆锥曲线做为专有概念进行研究：若以RtABC中的长直角边AC为轴，将ABC旋转一周，得到曲面CB'EBE'，如图2。再用垂直于BC的平面截曲面CB'EBE'，得到切口为一曲线，把它称之为“锐角圆锥曲线”。若以RtABC中的短直角边AB为轴，将RtABC旋转一周，得到曲面
BC'ECE'，如图3。再用垂直于BV的平面截曲面BC'ECE'，得到切口曲线EDE'，把它称为“钝角圆锥曲线”。由于在当时希腊人对平面曲线还缺乏
认识，上述三种曲线必须以“圆锥曲面”做为媒介才能得到，因此，被称为圆锥曲线的“雏形”。
图1 图2 图3
经过了大约二百年，两位著名数学家希腊的奥波罗尼奥斯（公元前三世纪后半叶）和欧几里得（公元前300－前275）对圆锥曲线的研究取得了重大突破的。奥波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》（共8卷，末卷遗失）中，系统地阐述了圆锥曲面的定义，并利用由圆锥曲面生成圆锥曲线的方法，对圆锥曲线的性质进行了深入的研究，他发现:（1）椭圆和双曲线上任一点M处的切线与MF1、MF2（F1,F2为两焦点）的夹角相等；（2）对于椭圆, 有|MF1?MF2|?|AA1|（|AA1|为常数，且大于|F1F2|）；（3）对于双曲线，|MF1?MF2|?|AA1|（|AA1|为常数，且小于|F1F2|）。遗憾的是，奥波罗尼奥斯对抛物线没有发现类似的性质。后来，欧几里得在他的著
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