由已知可得f (2)f (n)＝f (2n)＋f (n+1)，而f(2)＝3，f (2n)≥2n＋1，
所以3 f (n)≥f (n+1)＋2n＋1，即f(n+1)≤3 f (n)－2n－1． 下面证明：f (n)＝n+1．
因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立． 假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)＝k+1， 则f(k+1)≤3f (k)－2k－1＝3(k+1)－2k－1＝k＋2， 又f(k+1)≥k＋2，所以f(k+1)＝k＋2． 即n＝k+1时，命题也成立． 所
以
f (n)＝
n+1 ………………………………………10分
解法二：由f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝4，f(4)＝5，猜想f(n)＝n＋1．
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1，2，3，4时，命题成立．
②假设当n≤k (k≥4)时，命题成立，下面讨论n＝k＋1的情形．
若k为奇数，则k＋1为偶数，且 根据归纳假设知f( 因为f(2) f( 所以3·
k＋1
2
≤k，
k＋3
2
≤k． )＝
k＋1
2
)＝
k＋1
2
＋1＝
k＋3
2
，f(
k＋3
2
k＋3
2
＋1＝
k＋5
2
．
k＋1
2
)＝f(k＋1)＋f(
k＋1
2
＋2－1)＝f(k＋1)＋f(
k＋3
2
)，
k＋3
2
＝(k＋1)＋
k＋5
2
，即(k＋1)＝k＋2．
若k为偶数，则k＋2，k＋4为偶数，且 根据归纳假设知f( 因为f(2) f( 所以3·
k＋2
2
≤k，
k＋4
2)＝
≤k．
＋1＝
k＋2
2
)＝
k＋2
2
＋1＝
k＋4
2
，f(
k＋4
2
k＋4
2
k＋6
2
．
k＋2
2
)＝f(k＋2)＋f(
k＋2
2
＋2－1)＝f(k＋2)＋f(
k＋4
2
)，
k＋4
2
＝f(k＋2)＋
k＋6
2
，即f(k＋2)＝k＋3．
又k＋1＝f(k)＜f(k＋1)＜f(k＋2)＝k＋3． 所以f(k＋1)＝k＋2
因此不论k的奇偶性如何，总有f(k＋1)＝k＋2，即n＝k＋1时，命题也成立 于是对一切n∈N*，f(n)＝n＋1． 解法三：因为f (n)单调递增，所以f (n+1)＞f (n)，又f(n)∈Z，
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所以f (n+1)≥f (n)+1，又f(1)＝2，所以f (n)≥n+1 由已知可得：f (2)f (n)＝f (2n)＋f (n+1) 而f(2)＝3，f (2n)≥2n＋1
所以3 f (n)≥f (n+1)＋2n＋1，即：f(n+1)≤3 f (n)－2n－1
或者f(n+1)－n－2≤3(f (n)－n－1) 所以有f(n+1)－n－2≤3(f (n)－n－1)
≤32
(f (n－1)－n)
≤33
(f (n－2)－n＋1) ……
≤3n(f (1)－2)＝0 于是f(n+1)≤n＋2 又f (n＋1)≥n+2
所以f(n+1)＝n＋2，又f(1)＝2 所以f(n)＝n＋1
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