上海第二工业大学
不定积分、定积分 测验试卷
姓名： 学号： 班级： 成绩：
一、选择题：（每小格3分，共30分）
sinxf(ax)dx应等于（ ） 为f(x)的一个原函数，且a?0，则?xasinaxsinaxsinaxsinax?C； （D）?C （A）3?C； （B）2?C； （C）
axaxaxx1、设
2、若e在(??,??)上不定积分是F(x)?C，则F(x)?（ ）
x?ex?c1,x?0?ex?c,x?0（A）F(x)???x；（B）F(x)???x；
??e?c?2,x?0??e?c2,x?0?ex,?ex,x?0x?0（C）F(x)???x；（D）F(x)???x
??e?2,x?0??e,x?0?1,x?0x?3、设f(x)??0,x?0,F(x)??f(t)dt，则（ ）
0??1,x?0?（A）F(x)在x?0点不连续；
（B）F(x)在(??,??)内连续，在x?0点不可导； （C）F(x)在(??,??)内可导，且满足F?(x)?f(x)； （D）F(x)在(??,??)内可导，但不一定满足F?(x)?f(x)。
?4、极限limx?0x0tsintdtx0?tdt2＝（ ）
（A）－1； （B）0； （C）1； （D）2
5、设在区间[a,b]上f(x)?0,f?(x)?0,f??(x)?0。令s1??f(x)dx，s2?f(b)(b?a)
ab1s3?[f(a)?f(b)](b?a)，则（ ）
2（A）s1?s2?s3； （B）s2?s1?s3； （C）s3?s1?s2； （D）s2?s3?s1
二、填空题：（每小格3分，共30分）
1、设f(x)的一个原函数是e2、设
?2x，则它的一个导函数是___________。
1?20f(x)dx?1,f(2)?2，则?xf?(2x)dx?_____________。
03、已知f?(ex)?xe?x，且f(1)?0，则f(x)?_________________。 4、函数F(x)??x1(2?1)dt(x?0)的单调减少区间为________________。 t5、由曲线y?x2与y?x所围平面图形的面积为___________。
三、计算题 （第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）
(1?x)21、计算?dx
x(1?x2)3、设x?1，求
22、计算xtanxdx
??x?1(1?t)dt
3?1?x2,x?04、设f(x)???x，求?f(x?2)dx1?e,x?0??
5、
ln(1?x)?0(2?x)2dx1 6、计算
?11dx
xx?17、已知曲线C的方程为y?f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1,l2分别是曲线C在点
(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4)。设函数f(x)具有三队连续导数，计算定积分
?
30(x2?x)f???(x)dx。
四、解答题（本题10分）
设f(x)连续，?(x)?在x?0处的连续性。
?10且limf(xt)dt，
x?0f(x)?A（A为常数），求??(x)，并讨论??(x)x五、应用题（本题6分）
?x?x设曲线方程为y?e(x?0)，把曲线y?e,x轴、y轴和直线x??(??0)所围平
面图形绕x轴旋转一周，得一旋转体。（1）旋转体体积V(?)；（2）求满足V(a)?的a值。
1limV(?)?2???六、证明题（6分）
设f(x)在[a,b]上连续且单调增加，证明：不等式
?baa?bbxf(x)dx?f(x)dx。
2?a
不定积分、定积分 测验卷 答案
一．选择题：（每小格3分，共30分）
sinax1、（A）3?C；
ax
?ex,x?02、（C）F(x)???x；
?e?2,x?0?3、（B）F(x)在(??,??)内连续，在x?0点不可导； 4、（C）1；
5、（B）s2?s1?s3。
二、填空题：（每小格3分，共30分）
?2x1、一个导函数是f?(x)?4e。
2、
?10xf?(2x)dx?143。 4
5、
3、f(x)?1(lnx)2。 2
4、单调减少区间为(0,)。
1。 3三、计算题 （第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）
(1?x)2121、解：?dx?(??x1?x2)dx?lnx?2arctanx?c x(1?x2)x22、解：?xtanxdx??x(secx?1)dx??xdtanx??xdx?xtanx??tanxdx?
222x2?xtanx?lncosx??c
23、解：被积函数f(t)??当?1?x?0时，原式??1?t,?1?t?0，
?1?t,0?t???x1(1?x)2； ??120x12当x?0时，原式??(1?t)dt??(1?t)dt?1?(1?x)。
?102(1?t)dt?4、解：
?31f(x?2)dx????f(t)dt??(1?t2)dt??e?tdt??1?10x?2?t10171?。 3e
1ln(1?x)111115、解：?dx?ln(1?x)d()?ln(1?x)?dx0?00(2?x)22?x2?x?0(1?x)(2?x)111111?)dx?ln2。 ?ln2??(302?x1?x3
f(x)??，所以x?1为瑕点，因此该广义积分为混合型的。 6、解：因为lim?x?1???12??111dx??dx??dx?I1?I2
12xx?1xx?1xx?1I1??21x?1?t212tdt? dx?????2?2arctanx1?01(t?1)t2xx?12I2??所以
??2??12tdtdx????2arctanx1(1?t2)txx?1??1?2(?)；
24?????11dx?I1?I2??。
xx?1
7、解：按题意，直接可知f(0)?0,f(3)?0,f??(3)?0（拐点的必要条件）。从图中还可求出y?f(x)在点(0,0)与(3,2)处的切线分别为y?2x,y??2x?8。于是
f?(0)?2,f?(3)??2。所以
?30??(x2?x)f???(x)dx??(x2?x)df??(x)?(x2?x)f??(x)30??f(x)(2x?1)dx
003300333??????(2x?1)df?(x)??(2x?1)f?(x)30?2?f(x)dx??7f(3)?f(0)?2f(x)0
??7?(?2)?2?2?(2?0)?20。
四、解答题（本题10分）
f(x)?A，故limf(x)?0，而已知f(x)连续，limf(x)?f(0)?0； 解：因为limx?0x?0x?0x由于?(x)??10f(xt)dt，令u?xt，当t:0?1时，有u:0?x，du?xdt；
10x0当x?0时，有?(x)?当x?0时，有?(0)??f(xt)dt??1f(u)du?x?x0f(u)dux；
?10f(0)dt?0；
?xf(u)du??0,x?0。 所以?(x)??x?x?0?0,
