中考数学重难点专题讲座
第九讲 几何图形的归纳,猜想,证明问题
【前言】实行新课标以来，中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。08年的中考填空压轴是一道代数归纳题，已经展现出了这种趋势。09年的一模，二模也只是较少的区县出了这种归纳题，然而中考的时候就出了一道几何方面的n等分点总结问题。于是今年的一模二模，这种有关几何的归纳，猜想问题铺天盖地而来，这就是一个重要的风向标。而且根据学生反映，这种问题一般较难，得分率很低，经常有同学选择+填空就只错了这一道。对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的，所以一下我们通过今年的一二模真题来看看如何应对这种新题型。
第一部分 真题精讲
【例1】2010，海淀，一模
如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设?B2D1C1的面积为S1，?B3D2C2的面积为． S2，…，?Bn?1DnCn的面积为Sn，则S2= ；Sn=____ （用含n的式子表示）
B1D1AC1B2D2C2B3D3C3B4D4C4C5B5……
【思路分析】拿到这种题型，第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好，将阴影部分标出，不至于看错。但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是?BAC,?BAC这种的,第二步就是看这些图形之间有什
2233么共性和联系.首先S2所代表的三角形的底边C2D2是三角形AC2D2的底边,而这个三角形和△AC3B3是相似的.所以边长的比例就是AC2与AC3的比值.于是
1223.接下来通过总结,我们发现所求的三角形有
S2??2??3?233一个最大的共性就是高相等,为3（连接上面所有的B点，将阴影部分放在反过来的等边三角形中看）。那么既然是求面积，高相等，剩下的自然就是底边的问题了。我们发现所有的B,C点连线的边都是平行的，于是自然可以
得出Dn自然是所在边上的n+1等分点.例如D2就是B2C2的一个三等分点.于是DC?n?1?1?2(n+1-1是什么
nnn?1意思?为什么要减1?)
S?Bn?1DnCn?112n3n DnCn?3??3?22n?1n?1
【例2】2010，西城，一模
在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形，如图，菱形
ABCD的四个顶点坐标分别是(?8，0)，(0，4)，(8，0)，(0，?4)，则菱形ABCD能覆盖的单位格点正方形的个
数是_______个；若菱形ABCD的四个顶点坐标分别为(?2n，，0)，(0，n)，(2n，0)，(0，?n)（n为正整数）nnnn则菱形ABCD能覆盖的单位格点正方形的个数为_________（用含有n的式子表示）．
nnnny4BA-8OC8
x-4D【思路分析】此题方法比较多，例如第一空直接数格子都可以数出是48（笑）。这里笔者提供一种方法，其他方法大家可以自己去想想看。因为求的是菱形包涵的正方形个数，所以只需求出被X,Y轴所分的四个三角形包涵的个数，再乘以4即可。比如我们来看第二象限那个三角形。第二象限菱形那条边过（-2n,0）(0,n),自然可以写出直线解析式为
y?11,?,,RT三角形一共有
x?n斜率意味着什么看上图注意箭头标注的那些空白三角形这些2222n/2=n个,他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是1?而且这些直角三角形都是全等的,面积均为两个单位格点正方形的一半.那么整个的△AOB的面积自然就是11,n,
?2n?n所有个空白小三角形的面积之和为n??2?1相减2222
之后自然就是所有格点正方形的面积n?n,也就是数量了.所以整个菱形的正方形格点就是4n?4n.
【例3】2010，平谷，一模
如图，?AOB?45?，过OA上到点O的距离分别为1，，，，，357911...的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S，S，S，S，．则第一个黑色梯形的面积S? ；观察图中的规
11234?律，第n(n为正整数)个黑色梯形的面积S? ．
n
BS3S2S10135791113...AS4
【思路分析】本题方法也比较多样。所有阴影部分都是一个直角梯形，而因为?AOB?45?，所以梯形的上下1S???1?3??2?4.底长度分别都对应了垂足到0点的距离,而高则是固定的2。第一个梯形上底是1，下底是3，所以12第二个梯形面积S2?11??5?7??2?12,第三个是S3???9?11??2?20,至此,我们发现本题中梯形面积数值上其实22就是上下底的和.而且各个梯形的上底都是前一个梯形上底加上4。于是第n个梯形的上底就是1+4(n-1)=4n-3,(第一个梯形的上底1加上(n-1)个4.)下底自然就是4n-1,于是Sn就是8n-4.
【例4】2010，丰台，一模
在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3……每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有 个．
yA3A2A1321D112C1C2C33xD2D3-3-2-1OB1-1B2B3-2-3
【思路分析】此题看似麻烦，但是只要把握住“正方形”这个关键就可以了。对于ABCD来说,每条边的
nnnn长度是2n,那么自然整点个数就是2n+1，所以四条边上整点一共有(2n+1)x4-4=8n(个)(要减去四个被重复算的顶点),于是A10B10C10D10就是80个.
【例5】2010，宣武，一模
如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．
【思路分析】本题依然要找出每个三角形和上一个三角形之间的规律联系。关键词“中点”“垂线”“等腰直角”。这就意味着每个三角形的锐角都是45度，并且直角边都是上一个三角形直角边的一半。绕一圈是360度，包涵了8个45°。于是绕到第八次就可以和BC重叠了，此时边长为△ABC的
【例6】2010，门头沟，一模
如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA，再以等腰直角三角形ABA的
11斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形ABB，??，如此作下去，若OA?OB?1，则第n个等腰直角三角形
111，故而得解。 8的面积S? ________（n为正整数）.
nB2A1A
OBB1【思路分析】和上题很类似的几何图形外延拓展问题。还是一样慢慢找小三角形面积的规律。由题可得1242n S1?，S2?，S3?...，分子就是1,2,4,8,16这样的数列。于是Sn?2222
【总结】几何图形的归纳总结问题其实就包括了代数方面的数列问题，只不过需要考生自己找出图形与图形之间的联系而已。对于这类问题，首先就是要仔细读题，看清楚题目所求的未知量是什么，然后找出各个未知量之间的联系，这其中就包括了寻找未知量的拓展过程中，哪些变了，哪些没有变。最后根据这些联系列出通项去求解。在遇到具体关系很难找的问题时，不妨先写出第一项，第二项，第三项然后去找数式上的规律，如上面例6就是一例，如果纠结于几何图形当中等腰三角形直角边的平方，反而会使问题复杂化，直接列出前几项的面积就可以大胆的猜测出来结果了。这类题目计算量往往不大，重在思考和分析的方法，还请考生细心掌握。
第二部分 发散思考
