迭加有（1?121111112n┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 --）?2?2???2?2ln2nn?123n?1n1112n3111?????2ln-?（?） 222n?142nn?123n1112n3-成立. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅13分 故2?2???2?2lnn?1423n所以
【考点】函数零点，利用导数研究函数不等式恒成立问题，
21.（选编，较难）（本小题满分14分）
3x2y21，）1a?b?0)的左、已知椭圆C：2?2?（右焦点分别为F1,F2，点P（在椭圆C上，2ab满足PF1?PF2???9. 4（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l1过点P，且与椭圆只有一个公共点，直线l2与l1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P的两点M,N，
与直线x?1交于点K（K介于M,N两点之间）. (ⅰ)求证：PM?KN?PN?KM；
(ⅱ)是否存在直线l2，使得直线l1、l2、PM、PN的斜率按某种排序能构成等比
数列？若能，求出l2的方程；若不能，请说明理由.
解
??：（Ⅰ）设
F（1-c,0),F2(c,0),c?0，则
9933PF1?PF2?（-c?1,?)（?c?1,?)=1-c2??，
2244所以c?1. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 1
分
因为2a?PF1?PF2=4，所以a?2. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分
?b2?3┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分
x2y2故椭圆C的标准方程为??1. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分
433x2y2（Ⅱ）(ⅰ)设l1方程为y??k(x?1)，与??1联立，消y得
243（4k2?3)x2?(12k?8k2)x?(3?2k)2?12?0
由题意知??0，解得k??1.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分 2因为直线l2与l1的倾斜角互补，所以l2的斜率是
1. 2设直线l2方程：y?1x?t，M（x1,y1),N(x2,y2)， 21?y?x?t??2联立?2，整理得x2?tx?t2?3?0， 2?x?y?1?3?4由??0，得t2?4，
x1?x2??t，x1?x2?t2-3；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
┅6分
直线PM、PN的斜率之和kPM?kPN33y2?2?2 ?x1?1x2?1y1?3?3??1?1?x1?t???x2?1???x2?t???x1?1?22?2? ?2???x1?1??x2?1??x1x2?(t?2)(x1?x2)?(2t?3)
?x1?1??x2?1??0┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分
所以PM、PN关于直线x?1对称，即?MPK??NPK， 在?PMK和?PNK中，由正弦定理得
PNNKPMMK??，，┅┅┅┅┅┅┅┅
sin?PKMsin?MPKsin?PKNsin?NPK┅┅9分
又因为?MPK??NPK，?PKM??PKN?180? 所以
PMMK? PNNK故PM?KN?PN?KM成立. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
┅┅10分
(ⅱ)由(ⅰ)知，kPM?kPN?0，kl1??┅11分
11，kl2?. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅22（k?0) 假设存在直线l2，满足题意.不妨设kPM?-k，kPN?k，
-k,k按某种排序构成等比数列，设公比为q，则q?-1或q2?-1若?，，或q?-1.
所以q?-1，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
┅┅13分
则k?311221，此时直线PN与l2平行或重合，与题意不符， 2故不存在直线l2，满足题意. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
┅┅┅14分
【考点】椭圆的简单性质．椭圆方程的求法，注意运用椭圆的定义和点满足椭圆方程，考查存在性问题的解法，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和斜率公式，考查正弦定理的运用，考查化简整理的运算能力.
