北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（二）
数学参考答案及评分标准 （理科） 第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.B 2.C 3.A 4.D 5.A 6.C 7.A 8.D
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 9. ?15?a?2 10. 5 11. 12. 0.4;13． 13. 22?3? 14. ①②④ 1,?2??2??三、解答题(本大题共6小题，共80分) 15.（本小题共13分）
解：(Ⅰ)因为f(x)?3sin?x?cos?x?1?2sin(?x?又f(x)的最小正周期为?， 所以???6)+1，
2?，即?=2. --------------------------------------------------------------------6分 ?(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)?2sin(2x?因为0?x?所以
?6)+1，
?2，
?6?2x??6?7?. 6由正弦函数的性质可知，当2x?当2x??6??2，即x??6时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(
?)=3； 6?6???7?时，即x?时，函数f(x)取得最小值，最小值为f()=0. ------13分
226
16.（本小题共14分）
E，F分别为AC，BC证明：（Ⅰ）因为?ABC是等腰直角三角形?CAB?90，
的中点，
所以EF?AE，EF?C?E. 又因为AE?C?E?E, 所以EF?平面AEC?. 由于EF//AB,
所以有AB?平面AEC?. -------------------------4分
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oC'DCEAGFB解：（Ⅱ）(i)
取AC?中点D，连接DE,EF,FG,GD,
由于GD为?ABC?中位线，以及EF为?ABC中位线, 所以四边形DEFG为平行四边形.
直线GF与AC?所成角就是DE与AC?所成角.
所以四棱锥C??ABFE体积取最大值时，C?E垂直于底面ABFE. 此时?AEC?为等腰直角三角形，ED为中线， 所以直线ED?AC?. 又因为ED//GF,
所以直线GF与AC?所成角为
π. 2 -------------------------------------------------------10分 (ii) 因为四棱锥C??ABFE体积取最大值,
分别以EA、EF、EC?所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图， 则C?(0,0,a)，B(a,2a,0)，F(0,a,0)，C?B(a,2a,?a)，C?F(0,a,?a).
C'zax?2ay?az?0, 设平面C?BF的一个法向量为n=(x,y,z),由??n?C?B?0,得??uuur??n?C?F?0uuur??Cay?az?0EAxFy取y?1，得x?-1,z?1． 由此得到n=(-1,1,1).
同理，可求得平面C?AE的一个法向量m=(0,1,0). 所以 cosn?m?1?3. 33B故平面C'AE与平面C'BF的平面角的夹角的余弦值为3.--------------------------------------14分
317.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）根据投篮统计数据，在10场比赛中，甲球员投篮命中率超过0.5的场次有5场， 分别是4，5，6，7，10，
所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过0.5的概率是
1. 22. ---------------------------------------3分 5在10场比赛中，乙球员投篮命中率超过0.5的场次有4场，分别是3，6，8，10， 所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过0.5的概率是
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（Ⅱ）设在一场比赛中，甲、乙两名运动员恰有一人命中率超过0.5为事件A，甲队员命中率超过0.5且乙队员命中率不超过0.5为事件B1，乙队员命中率超过0.5且甲队员命中率不超过0.5为事件B2. 则P(A)?P(B1)?P(B2)?13121????.------------------------------------------------7分 25252（Ⅲ）X的可能取值为0,1,2,3.
23275412132P(X?0)?C30()0()3?； P(X?1)?C3()()?；
551255512523368323P(X?2)?C32()2()1?； P(X?3)?C3()?；
551255125X的分布列如下表：
X P
0 1 2 3 27 12554 12536 1258 125EX?np?3?26?. --------------------------------------------------------13分 5518.（本小题共14分）
2?2(x2?3x?1)解：（Ⅰ）f?(x)??2(x?1)?(x??2) ,
x?2x?2当f?(x)?0时， 所以 x?3x?1?0. 解得 ?2?x?2?3?5. 2?3?5. 2?3?5?3?5,??).------------4分 )，单调减区间为(22当f?(x)?0时, 解得 x?所以 f(x)单调增区间为(?2,（Ⅱ） 设h(x)?f(x)?g(x)?2ln(x?2)?(x?1)2?k(x?1)(x??1),
当k?2时，由题意，当x?(?1,??)时，h(x)?0恒成立.
?2(x2?3x?1)h?(x)??2?x?2?2(x?3)(x?1),
x?2? 当x??1时，h?(x)?0恒成立，h(x)单调递减． 又h(?1)?0,
? 当x?(?1,??)时，h(x)?h(?1)?0恒成立，即f(x)?g(x)?0.
? 对于?x??1，f(x)?g(x)恒成立. ---------------------------------8分
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?2(x2?3x?1)2x2?(k?6)x?2k?2（Ⅲ） 因为 h?(x)?. ?k??x?2x?2 由(II)知，当k = 2时，f (x) < g (x)恒成立，
即对于?x > –1，2 ln (x + 2) – (x + 1)2 < 2 (x + 1)，不存在满足条件的x0；
当k > 2时，对于?x > –1，x + 1 > 0，此时2 (x + 1) < k (x + 1). ? 2 ln (x + 2) – (x + 1)2 < 2 (x + 1) < k (x + 1)，即f (x) < g (x)恒成立， 不存在满足条件的x0；
当k < 2时，令t (x) = –2x2 – (k + 6)x – (2k + 2)，可知t (x)与h ? (x)符号相同, 当x ? (x0 , +?)时，t (x) < 0，h ? (x) < 0，h (x)单调递减． ? 当x ? (–1 , x0)时，h (x) > h (–1) = 0，即f (x) – g (x) > 0恒成立． 综上，k的取值范围为(–? , 2)． -------------------------------------------------------14分
19.（本小题共13分）
解:（Ⅰ）由题意,以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形,
x2y2所以 b?c, a?2b, 则椭圆C的方程为2?2?1.
2bb22又因为椭圆C:过点A(2，1)，所以
21??1，故a=2,b=.2 2b2b2x2y2??1. --------------------------------------------------------4分 所以 椭圆的的标准方程为42(Ⅱ)MP2?(x?p)2?y2.
x2y2??1， 因为 M(x,y)是椭圆C上的动点，所以42x2x2)?2? 故 y?2(1?. 422x2121?x?2px?p2?2?(x?2p)2?p2?2. 所以 MP?(x?p)?2?22222 因为M(x,y)是椭圆C上的动点， 所以 x?2.
2（1） 若|2p|?2即p?1，则当x?2p时MP取最小值2?p，
2此时M(2p,?2?2p).
（2）若p?1，则当x?2时，MP取最小值p?2，此时M(2,0).
（3）若p??1，则当x??2时，MP取最小值p?2，此时M(?2,0). -------13分
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20.（本小题共13分）
（Ⅰ）由dn?an?2?an?2an?1(n?1)以及dn?an可得：
an?2?2an?1?0(n?1)
所以从第二项起为等比数列. 经过验证{an}为等比数列an?2(Ⅱ)由于dn?1所以有an?2?an?2an?1?1
.令cn?an?1?an则有cn?1?cnn?1.
-------------------2分
?1叠加得：
n2?9n?10c?n?4所以有an?1?an?n?4，叠加可得：an? n， 2所以最小值为-5. --------------------------------------------------------6分
（Ⅲ）由于
dn?1，a1?1， a2?1
??1可得a3?0
若d1?1可得a3?2，若d1同理，若d2?1可得a4?4或a4?2，若d2??1可得a4?0或a4??2
具体如下表所示
????4?2????2????? 11????0??0?????2?????所以{an}可以为
?7??5?3??1?1???1??3???5
112211221122LL或110
011001100LL
此时相应的{dn}为 1?1?111?1?11LL 或?111?1?111?1LL
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