故
a0?a1x?a2x2R21(x)?1?b1x211?x?x236?11?x36?4x?x2?6?2x
b
(2)?S??(x)?f??(x)?S??(x)?dxa??S??(x)d?f?(x)?S?(x)?abbb?S??(x)?f?(x)?S?(x)????f?(x)?S?(x)?d[S??(x)]aa?S??(b)?f?(b)?S?(b)??S??(a)?f?(a)?S?(a)???S???(x)?f?(x)?S?(x)?dxab
?S??(b)?f?(b)?S?(b)??S??(a)?f?(a)?S?(a)???S???(k?0n?1n?1xk?xk?1xk?1)g??f?(x)?S?(x)?dxxk2xk?1xk?xk?1?S??(b)?f?(b)?S?(b)??S??(a)?f?(a)?S?(a)???S???()g?f?(x)?S?(x)?xk2k?0?S??(b)?f?(b)?S?(b)??S??(a)?f?(a)?S?(a)?
第四章 数值积分与数值微分
1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具
有的代数精度：
(1)?f(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h);?hh(2)?2h?2h1f(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h);
(3)?f(x)dx?[f(?1)?2f(x1)?3f(x2)]/3;?1h(4)?f(x)dx?h[f(0)?f(h)]/2?ah2[f?(0)?f?(h)];0解：
求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若(1)?h?hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)
令f(x)?1，则
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2h?A?1?A0?A1
令f(x)?x，则
0??A?1h?A1h
令f(x)?x，则
223h?h2A?1?h2A1 3从而解得
4?A??03h?1??A1?h
3?1?A???13h?令f(x)?x，则
3?h?hf(x)dx??x3dx?0
?hhA?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)?0
故
?h?hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)成立。
4令f(x)?x，则
?h?hf(x)dx??x4dx??hh25h52A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)?h53故此时，
h
??hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)
h?h故
?f(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)
2h具有3次代数精度。 （2）若
??2hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)
令f(x)?1，则
4h?A?1?A0?A1
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令f(x)?x，则
0??A?1h?A1h
令f(x)?x，则
2163h?h2A?1?h2A1 3从而解得
4?A??h?03?8?A?h ?13?8?A???13h?令f(x)?x，则
3?2h?2hf(x)dx??2h?2hx3dx?0
A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)?0
故
?2h?2hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)成立。
4令f(x)?x，则
?2h?2hf(x)dx??2h?2hx4dx?645h 5165h 3A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)?故此时，
2h???2hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)
因此，
2h?2hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)
1具有3次代数精度。 （3）若
??1f(x)dx?[f(?1)?2f(x1)?3f(x2)]/3
令f(x)?1，则
?1?1f(x)dx?2?[f(?1)?2f(x1)?3f(x2)]/3
令f(x)?x，则
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0??1?2x1?3x2
令f(x)?x，则
22?1?2x12?3x2
2从而解得
?x1??0.2899?x1?0.6899或? ??x2?0.5266?x2?0.1266令f(x)?x，则
3?1?1f(x)dx??x3dx?0
?11[f(?1)?2f(x1)?3f(x2)]/3?0
故
?1?1f(x)dx?[f(?1)?2f(x1)?3f(x2)]/3不成立。
h因此，原求积公式具有2次代数精度。 （4）若
?0f(x)dx?h[f(0)?f(h)]/2?ah2[f?(0)?f?(h)]
令f(x)?1，则
?h0f(x)dx?h,
h[f(0)?f(h)]/2?ah2[f?(0)?f?(h)]?h
令f(x)?x，则
hh1f(x)dx??xdx?h202?01h[f(0)?f(h)]/2?ah2[f?(0)?f?(h)]?h22令f(x)?x，则
2
?h0h1f(x)dx??x2dx?h3031h[f(0)?f(h)]/2?ah2[f?(0)?f?(h)]?h3?2ah22故有
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