?02?1,?12?,1 (?0,?1)?,2(f,?0)?e?1,(f,?1)?1,则法方程组为
2213??1??1??21?2??a0??e?1? ??????1??a1??1??3?从而解得
?a0?0.1878 ??a1?1.6244故f(x)关于??span?1,x?的最佳平方逼近多项式为
S*(x)?a0?a1x?0.1878?1.6244x
(3)Qf(x)?cos?x,x?[0,1]
若(f,g)??10f(x)g(x)dx
且?0?1,?1?x,，则有
?02?1,?12?,1(?0,?1)?,2(f,?0)?0,(f,?1)??则法方程组为
22132?2,??1??1??21??0??a??20?????2? 1??a1????2??????3?从而解得
?a0?1.2159 ??a1??0.2431741 / 65
故f(x)关于??span?1,x?的最佳平方逼近多项式为
S*(x)?a0?a1x?1.2159?0.24317x
(4)Qf(x)?lnx,x?[1,2]
若(f,g)??21f(x)g(x)dx
且?0?1,?1?x,则有
?02?1,?12?,3(?0,?1)?,23(f,?0)?2ln2?1,(f,?1)?2ln2?,4则法方程组为
2273??1??3??23??2ln2?1??a??20? ?????37??a1??2ln2????4?3?从而解得
?a0??0.6371 ?a?0.6822?1故f(x)关于??span?1,x?最佳平方逼近多项式为
S*(x)?a0?a1x??0.6371?0.6822x18。f(x)?sin解：
?2x，在[?1,1]上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。
Qf(x)?sin?2x,x?[?1,1]
按勒让德多项式?P0(x),P1(x),P2(x),P3(x)?展开
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?1(f(x),P0(x))??sinxdx?cosx?0?12?211?2?(f(x),P1(x))??xsin?11?2xdx?8131(f(x),P2(x))??(x2?)sinxdx?0?1222153?48(?2?10)3(f(x),P3(x))??(x?x)sinxdx??1222?4?2?
则
*a0?(f(x),P0(x))/2?0*a1?3(f(x),P1(x))/2?12?2168(?2?10)*a2?5(f(x),P2(x))/2?0
a?7(f(x),P3(x))/2?*3?4从而f(x)的三次最佳平方逼近多项式为
*****S3(x)?a0P0(x)?a1P1(x)?a2P2(x)?a3P3(x)168(?2?10)533?2x?(x?x)??422420(?2?10)3120(21?2?2)?x?4412
???1.5531913x?0.5622285x319。观测物体的直线运动，得出以下数据： 时间t(s) 距离s(m) 0 0 0.9 10 1.9 30 3.0 50 3.9 80 5.0 110 求运动方程。 解：
被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程 s?a?bt 令??span?1,t? 则
?02?6,?12?53.63,(?0,?1)?14.7,(?0,s)?280,(?1,s)?1078,则法方程组为
2214.7??a??280??6??????? 14.753.63b1078??????43 / 65
从而解得
?a??7.855048 ??b?22.25376故物体运动方程为
S?22.25376t?7.855048
20。已知实验数据如下： xi yj 19 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 44 97.8 用最小二乘法求形如s?a?bx的经验公式，并计算均方误差。 解：
若s?a?bx，则
22??span?1,x2?
则
?02?5,?12?7277699,(?0,?1)?5327,(f,?0)?271.4,(f,?1)?369321.5,则法方程组为
225327??a??271.4?5????????
?53277277699??b??369321.5?从而解得
?a?0.9726046 ?b?0.0500351?故y?0.9726046?0.0500351x 均方误差为??[2?(y(x)?y)]jjj?04122?0.1226
21。在某佛堂反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下： 时间t 浓度0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64 y(?10?4) 用最小二乘法求y?f(t)。 解：
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