图2 图3
例5 2010年北京市中考第24题
m?125mx?x?m2?3m?2与x轴的交点44在平面直角坐标系xOy中，抛物线y??分别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上．
（1）求点B的坐标；
（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）．
①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；
②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10北京24”，拖动点P从O向A运动，可以体验到，两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线．
思路点拨
1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．
2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t的式子表示这些线段的长． 3．点C的坐标始终可以表示为(3t,2t)，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP的长． 4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t的方程就可以求解了．
29 / 97
满分解答
m?125mx?x?m2?3m?2经过原点，所以44125m2?3m?2?0． 解得m1?2，m2?1（舍去）．因此y??x?x．所以点B的坐
42(1) 因为抛物线y??标为（2，4）．
(2) ①如图4，设OP的长为t，那么PE＝2t，EC＝2t，点C的坐标为(3t, 2t)．当点C落在抛物线上时，2t??1522?(3t)2??3t．解得t?OP?． 429②如图1，当两条斜边PD与QM在同一条直线上时，点P、Q重合．此时3t＝10．解得t?10． 3如图2，当两条直角边PC与MN在同一条直线上，△PQN是等腰直角三角形，PQ＝PE．此时10?3t?2t．解得t?2．
如图3，当两条直角边DC与QN在同一条直线上，△PQC是等腰直角三角形，PQ＝PD．此时10?3t?4t．解得t?10． 7
图1 图2 图3
考点伸展
在本题情境下，如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切，求t的值． 如图5，当P、Q重合时，两圆内切，t?10． 3如图6，当两圆外切时，t?30?202．
图4 图5 图6
30 / 97
例6 2009年嘉兴市中考第24题
如图1，已知A、B是线段MN上的两点，MN?4，MA?1，MB?1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB?x．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值； （3）探究：△ABC的最大面积？
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09嘉兴24”，拖动点B在AN上运动，可以体验到，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；∠CAB和∠ACB可以成为直角，∠CBA不可能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的“U”形，当AB等于1.5时，面积达到最大值．
思路点拨
1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x的不等式组，可以求得x的取值范围．
2．分类讨论直角三角形ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．
3．把△ABC的面积S的问题，转化为S2的问题．AB边上的高CD要根据位置关系分类讨论，分CD在三角形内部和外部两种情况．
满分解答
（1）在△ABC中，AC?1，AB?x，BC?3?x，所以??1?x?3?x, 解得1?x?2．
1?3?x?x.?（2）①若AC为斜边，则1?x2?(3?x)2，即x2?3x?4?0，此方程无实根．
5②若AB为斜边，则x2?(3?x)2?1，解得x?，满足1?x?2．
34③若BC为斜边，则(3?x)2?1?x2，解得x?，满足1?x?2．
354因此当x?或x?时，△ABC是直角三角形．
331（3）在△ABC中，作CD?AB于D，设CD?h，△ABC的面积为S，则S?xh．
2①如图2，若点D在线段AB上，则1?h2?(3?x)2?h2?x．移项，得
(3?x)2?h2?x?1?h2．两边平方，得(3?x)2?h2?x2?2x1?h2?1?h2．整理，
得x1?h2?3x?4．两边平方，得x2(1?h2)?9x2?24x?16．整理，得x2h2??8x2?24x?16
31 / 97
所以S2?当x?412231． xh??2x2?6x?4??2(x?)2?（≤x?2）
42234231时（满足≤x?2），S2取最大值，从而S取最大值．
2223
图2 图3
②如图3，若点D在线段MA上，则(3?x)2?h2?1?h2?x． 同理可得，S2?易知此时S?
412231． xh??2x2?6x?4??2(x?)2?（1?x≤）
42232． 22． 2综合①②得，△ABC的最大面积为
考点伸展
第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设AD?a， 例如在图2中，由AC?AD?BC?BD列方程1?a2?(3?x)2?(x?a)2． 整理，得a?22223x?4．所以 x?8x2?24x?16?3x?4?21?a?1??． ??2xx??因此
2S2?
12x(1?a2)??2x2?6x?4． 4例 7 2008年河南省中考第23题
4 x?4和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．
3如图1，直线y??（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．
① 求S与t的函数关系式；
② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；
③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．
32 / 97
