(3)y＝exln x；(4)y＝(1＋sin x)2.
解：(1)y′＝nxn1ex＋xnex＝xn1ex(n＋x)． －sin2x－cos2x1(2)y′＝＝－2. 2
sinxsinx11
＋ln x?. (3)y′＝exln x＋ex·＝ex??x?x(4)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′ ＝2(1＋sin x)·cos x.
导数的几何意义(高频考点)
导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，属中低档题．主要命题角度有：
(1)求切线方程；
(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程(或斜率)求参数值． 角度一 求切线方程
1
(1)曲线y＝x2＋在点(1，2)处的切线方程为____________________．
x
(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________．
11
【解析】 (1)因为y′＝2x－2，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率为y′|x＝1＝2×1－2
x1＝1，
所以切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1. (2)因为点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上， 所以设切点为(x0，y0)． 又因为f′(x)＝1＋ln x，
?y0＝x0ln x0，?
所以?
?y＋1＝（1＋ln x）x，?000
－
－
解得x0＝1，y0＝0.
所以切点为(1，0)，所以f′(1)＝1＋ln 1＝1. 所以直线l的方程为y＝x－1. 【答案】 (1)y＝x＋1 (2)y＝x－1 角度二 已知切线方程(或斜率)求切点坐标
若曲线y＝e
________．
－x
上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是
【解析】 设P(x0，y0)，因为y＝e， 所以y′＝－ex，
所以点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2， 所以－x0＝ln 2，所以x0＝－ln 2， 所以y0＝eln 2＝2，
所以点P的坐标为(－ln 2，2)． 【答案】 (－ln 2，2)
角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值
(1)(2020·宁波调研)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a
＋b的值等于( )
A．2 C．1
B．－1 D．－2
－
－x
(2)(2020·绍兴调研)若直线y＝ax是曲线y＝2ln x＋1的一条切线，则实数a＝________． 13＋a＋b＝3，??
2【解析】 (1)依题意知，y′＝3x＋a，则?3×12＋a＝k，
??k＋1＝3，a＝－1，??
由此解得?b＝3，所以2a＋b＝1，选C.
??k＝2，
2
(2)依题意，设直线y＝ax与曲线y＝2ln x＋1的切点的横坐标为x0，则有y′|x＝x0＝，
x02??a＝x0于是有?， ??ax0＝2ln x0＋121解得x0＝e，a＝＝2e－.
x021
【答案】 (1)C (2)2e－
2
(1)求曲线切线方程的步骤
①求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率； ②由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． (2)求曲线的切线方程需注意两点
①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；
②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．
1
1．(2020·杭州七校联考)曲线y＝ex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
2( )
9
A.e2 2C．2e2
B．4e2 D．e2
111111
解析：选D.因为y′＝ex，所以k＝e×4＝e2，所以切线方程为y－e2＝e2(x－4)，
2222221
令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，所以所求面积为S＝×2×|－e2|＝e2.
2
2．已知函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex(其中e是自然对数的底数，a∈R)，若f(x)在(0，f(0))处的切线与直线x＋y－1＝0垂直，则a＝________．
解析：f′(x)＝(x2＋ax－1)′ex＋(x2＋ax－1)(ex)′＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex＝[x2＋(a＋2)x＋(a－1)]ex，故f′(0)＝[02＋(a＋2)×0＋(a－1)]e0＝a－1.
因为f(x)在(0，f(0))处的切线与直线x＋y－1＝0垂直，故f′(0)＝1，即a－1＝1，解得a＝2.
答案：2
3．(2020·台州高三月考)已知曲线f(x)＝xn1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 018x1＋log2 018x2＋…＋log2 018x2 017的值为________．
解析：f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，点P(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，1nn令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝.
n＋1n＋1n＋1
1232 0162 0171
所以x1·x2·…·x2 017＝×××…××＝.
2342 0172 0182 018则log2 018x1＋log2 018x2＋…＋log2 018x2 017 ＝log2 018(x1·x2·…·x2 017)＝log2 018答案：－1
两条曲线的公切线
若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b
＝________．
【解析】 设y＝kx＋b与y＝ln x＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，ln x1＋2)和(x2，ln(x2
＋1))．
111
则切线分别为y－ln x1－2＝(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝(x－x2)，化简得y＝x＋ln x1
x1x1x2＋1
1
＝－1. 2 018
＋
1x2
＋1，y＝x－＋ln(x2＋1)，
x2＋1x2＋1
?x＝x＋1，依题意?
x
?ln x＋1＝－x＋1＋ln（x＋1），
1
21
22
2
11
1
解得x1＝，从而b＝ln x1＋1＝1－ln 2.
2【答案】 1－ln 2
求两条曲线的公切线的方法
(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解． (2)利用公切线得出关系式．
设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，y1)，在y＝g(x)上的切点P2(x2，y2)，则f′(x1)＝g′(x2)f（x1）－g（x2）＝.
x1－x2
1．已知函数f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为( ) A．三条 C．一条
B．二条 D．0条
－
解析：选A.设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点(m，f(m))，(n，g(n))，f′(x)＝2x－4，g′g（n）－f（m）n2
(x)＝－x，g′(n)＝f′(m)＝，解得m＝－＋2，代入化简得8n3－8n2＋1
2n－m
－2
－
2
0，?＝0，构造函数f(x)＝8x3－8x2＋1，f′(x)＝8x(3x－2)，原函数在(－∞，0)上单调递增，在??3?22
，＋∞?上单调递增，极大值f(0)＞0，极小值f??＜0，故函数和x轴有3上单调递减，在??3??3?个交点，方程8n3－8n2＋1＝0有三个解，故切线有3条．故选A.
2．曲线f(x)＝ex在x＝0处的切线与曲线g(x)＝ax2－a(a≠0)相切，则过切点且与该切线垂直的直线方程为__________．
解析：曲线f(x)在x＝0处的切线方程为y＝x＋1. 设其与曲线g(x)＝ax2－a相切于点(x0，ax20－a)． 则g′(x0)＝2ax0＝1，且ax20－a＝x0＋1. 1
解得x0＝－1，a＝－，切点坐标为(－1，0)．
2所以过切点且与该切线垂直的直线方程为 y＝－1·(x＋1)，即x＋y＋1＝0. 答案：x＋y＋1＝0
