慧角，得出，证出△AOP∽△POB，得出对应角相等∠OAP=∠OPB，即可得出∠APB=180°﹣α；过点A作AH⊥OB于H，由三角形的面积公式得出：S△AOB=OB?AH，即可得出S△AOB=2sinα； （3）设点C（a，b），则ab=3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况： ①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，BC=2CA不可能；当得A在x轴的正半轴上时；先求出，由平行线得出△ACH∽△ABO，得出比例式：
=，得出OB=3b，OA=，求出，OA?OB=根据∠APB是∠AOB的智慧角，得出OP，即可得出点P的坐标； ②当点B在y轴的负半轴上时；由题意得出：AB=CA，由AAS证明△ACH≌△ABO，得出OB=CH=b，OA=AH=a，得出OA?OB=，求出OP，即可得出点P的坐标． （1）证明：∵∠MON=90°，P为∠MON的平分线上一点， ∴∠AOP=∠BOP=∠MON=45°， ∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°， ∴∠OAP+∠APO=135°， ∵∠APB=13解答：
5°， ∴∠APO+∠OPB=135°， ∴∠OAP=∠OPB， ∴△AOP∽△POB， ∴2， ∴OP=OA?OB， ∴∠APB是∠MON的智慧角； （2）解：∵∠APB是∠MON的智慧角， ∴OA?OB=OP， ∴， 2∵P为∠MON的平分线上一点， ∴∠AOP=∠BOP=α， ∴△AOP∽△POB， ∴∠OAP=∠OPB， ∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°﹣α， 即∠APB=180°﹣α； 过点A作AH⊥OB于
H，连接AB；如图1所示： 则S△AOB=OB?AH=OB?OAsinα=OP2?sinα， ∵OP=2， ∴S△AOB=2sinα； （3）设点C（a，b），则ab=3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况： ①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，如图2所示： BC=2CA不可能； 当得A在x轴的正半轴上时，如图3所示： ∵BC=2CA， ∴， ∵CH∥OB， ∴△ACH∽△ABO， ∴=， ∴OB=3b，
