解析几何初步
第1讲 直线的倾斜角与斜率及直线方程
★知识梳理★
1、直线的倾斜角与斜率: 对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转
00
到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范围是[0，180)
直线的倾斜角α与斜率k的关系:当α?90时， k与α的关系是k?tan?；α?90时，直线斜率不存在；
经过两点P1(x1,y1)P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是k?y2?y1x2?x100 ；
三点A,B,C共线的充要条件是kAB?kAC 2.直线方程的五种形式:
点斜式方程是y?y0?k?x?x0?；不能表示的直线为垂直于x轴的直线 斜截式方程为y?kx?b；不能表示的直线为垂直于x轴的直线 y?y1y2?y1yb两点式方程为?x?x1x2?x1；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线
截距式方程为
xa??1；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.
一般式方程为ax?by?c?0 . 3.几种特殊直线的方程:
①过点P(a,b)垂直于x轴的直线方程为x=a;过P(a,b)垂直于y轴的直线方程为y=b ②已知直线的纵截距为b,可设其方程为y?kx?b; ③已知直线的横截距为a,可设其方程为x?my?a; ④过原点的直线且斜率是k的直线方程为y=kx
★重难点突破★
重点: 理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程 难点:在求直线方程时,条件的转化和设而不求的运用
重难点:结合图形,把已知条件转化为确定直线位置的要素,从而顺利求出直线方程 （1）倾斜角与斜率的对应关系
涉及这类问题的题型一般有：（1）已知倾斜角(或范围)求斜率(范围)（2）已知斜率(或
范围)求倾斜角(或范围)，如： 问题1：直线xtanA.?3?3?y?2?0的倾斜角?是
B.
?6 C.
2?3 D. ??3
点拨:转化为: 已知tan???tan问题2: 求直线xcos???3,??[0,?),求? ,答案: C
3y?2?0的倾斜角的取值范围
点拨: 要从k?tan?和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系， ①当??[0,②当??(?2?2)时,k?[0,??),k随?的增大而增大;
,??)时,k?(??,0),k随?的增大而增大.
本题可先求出斜率的取值范围,再利用倾斜角与斜率的对应关系,求出倾斜角的取值范围.
k??3333cos?，故：?33?k?33
当0?k?时，直线的倾斜角α满足：0????6
5?当?3?k?0时，直线的倾斜角α满足????
36所以，直线的倾斜角的范围：0????6和
5?6????
(2）利用直线方程的几何特征确定直线的位置
问题3：已知函数f(x)?a,(a?0且a?1)，当x?0时，f(x)?1，方程 y?ax?示的直线是
y
O O O O x x x x
A B C D
点拨:这是直线方程中的参数的几何意义问题，可先确定直线的斜率和截距的范围,再确定直线的位置,由已知可得a?(0,1),从而斜率k?(0,1),截距b?1,故选C （3）选择恰当的形式求直线方程
问题4:过点P(?1,?2)的直线分别交x轴、y轴的负半轴于A,B两点，当|PA|?|PB|最小时，求直线l的方程。
y x1a表
y y 点拨:设直线方程要从条件和结论两方面考虑，为更好表示|PA|?|PB|,本题用点斜式设出方程最简便。
解：设直线l的方程为
y?2?k(x?1),x?0,得y?k?2,y?0,得x?2k?1,?A(2k?1,0),B(0,k?2),
1k2?|PA|?|PB|?4k2?4?k?1?24k?24k2?8?4,当且仅当k?2，即k=±1时
等号成立，但k<0,故直线l的方程为：x+y+3=0；
（4）设直线方程时要考虑是否会有丢解的情况，如：
问题5:求过点P(3,4)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程。 点拨: 设直线方程都要考虑是否丢解的问题，本题用截距式设直线方程容易漏掉过原点的直线，应警惕。
解：当直线过原点时,方程为y?代入得a?5, ?2x?y?10 综上,所求方程为y?43x或2x?y?10
43x;当直线不经过原点时,设方程为
xa?y2a?1,把P(3,4)★热点考点题型探析★
考点1 直线的倾斜角和斜率
题型1 ：已知倾斜角(或范围)求斜率(或范围)或已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围) [例1 ]已知经过A(m,2),B(?m,2m?1),的直线的倾斜角为?，且45???135，试求实数m的取值范围。
【解题思路】由倾斜角?的范围得出斜率k的范围,从而求出参数m的取值范围. 【解析】?45???135?k?1或k??1或m?0，
?2m?3?2m?1或
2m?3?2m??1或m?0，解得：0?m?34或m?0或m?0
oooo3?m的取值范围是(??,)
4【名师指引】根据正切函数在[0,?)上的单调性,要分
0000??(45,90);??90??(90,135)三种情况讨论,特别注意??90时容易遗漏.
00题型2 ：动直线与线段(曲线段、区域)相交
[例2 ]已知直线l:y=kx-2和两点P（1，2）、Q（-4，1）,若l与线段PQ相交，求k的取值范围；
【解题思路】用运动的观点,结合图形得出倾斜角的范围,从而得Q M O y P x 出斜率取值范围
[解析]由直线方程y=kx-2可知直线过定点（0，-2），
2?(?2)1?(?2)3kMP??4kMQ???∵ 1?0(?4)?04
∴要使直线l与线段PQ有交点，则k的取值范围 是k≥4和k≤-3/4
【名师指引】（1）用“运动的观点”是解决这类问题的根本方法，注意“两条直线相交”和“直线与线段相交”的区别（2）在观察动直线在运动过程中,要特别注意倾斜角是否含有900角,若含有,则斜率的范围是(??,k1]?[k2,??),若不含有,则斜率的范围是[k1,k2]（k1,k2分别为线段端点与直线所过定点连线的斜率）
【新题导练】
1. 下列多组点中，三点共线的是( )
A.(1，4)，(-1，2)，(3，5) B.(-2,-5),(7,6),(-5,3)
C.(1,0),(0,-13),(7，2) D.(0，0)，(2，4)，(-1，3)
【解析】C. 由KAB=KBC可得
2.（广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试）若函数f(x)=log2（x+1）且a＞b＞c＞0，则
f(a)a、
f(b)b、
f(c)c的大小关系是
f(c)cf(b)bf(a)aA、
f(a)a＞
f(b)b＞
f(c)c B、＞＞
C、
f(b)b＞
f(a)a＞
f(c)cD、
f(a)a＞
f(c)c＞
f(b)b
【解析】B 把
f(a)a、f(b)、f(c)分别看作函数f(x)=log（图像上的点(a,f(a)),(b,f(b)),(c,f(b))2x+1）
bc与原点连线的斜率,对照草图可得答案
?x?3?4t3. (华南师大附中2009届高三综合测试（一）)已知直线?（t为参数），则下
y??4?3t?列说法错误的是
（ ）
34A．直线的倾斜角为arctan B．直线必经过点(1,?112)
C．直线不经过第二象限 D．当t=1时，直线上对应点到点（1,2）的距离为32 34【解析】D. 将直线方程化为3x?4y?25?0，直线的斜率为将点(1,?112，直线的倾斜角为arctan34，
)代入，满足方程，斜率为正，截距为负，直线不经过第二象限
A C D B O x
