例子例5:设A?K,g(x)?K[x],(1) 若?是A的特征值, 则g(?)是g(A)的特征值.(2) 若?1,?2,...,?n是A的全部特征值, 则g(?1),g(?2),...,g(?n)是g(A)的全部特征值. n?n?例6:设A?K,|A|?0,A的特征值为?1,?2,...,?n.(1) |?i|?0,1?i?n;?1?1?1?1?1,?2,...,?n是A的全部特征值;(2) ?1?1?1*(3) |A|?1,|A|?2,...,|A|?n是A的全部特征值.?厦门大学数学科学学院网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cnIP: http://59.77.1.116n?n例子
例7:设n阶方阵A适合多项式g(x), 即g(A)?0.则A的特征值也适合g(x), 即g(?)?0.?例8:设A, B为n阶方阵, 则fAB(?)?fBA(?).m?nn?m?例9:设A?K,B?K,且m?n.求证:m?n(1)|?I?AB|??|?I?BA|;(2) tr(AB)?tr(BA);(3) 设B1,B2,...,Bm是m个同阶矩阵A1,A2,...,Am的任何循环排列, 则A1A2...Am与B1B2...Bm有相同多项式, 因而有相同特征值和迹.?
厦门大学数学科学学院网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cnIP: http://59.77.1.116例子?例10:设??(a1,a2,...,an)?RIn?2???的特征值.1?n,且????1,求?
例11: 设实矩阵In -A的特征值的模长都小于1, 求证: 0<|A|<2n.有特征值.*?例12: 设A是n阶方阵, 秩等于n-1, 试求A的所?A1?例13:设A????f(?)?f(?)f(?)., 则AAA12?A2?厦门大学数学科学学院网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cnIP: http://59.77.1.116作业
?作业: p215 1(3), 4, 5, 6, 9(1)
p229 11
?思考: p215 7
p228 1, 2, 10
?选做: p216 9(2)
p228 3, 4
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