解 设每月用水量为xm3，支付费用为y元，则
y?8?c?0?c?5?， （2-1） y??x?a??b?8?c?x?a?， （2-2）
由题意知 0?c?5，所以8?c?13，由表知第二、三月份的费用均大于13元，故 用水量15m3、22m3均大于最低限量am3， 将x=15，x=22分别代入（2-2）式，得
b?2，
所以
2a?c?19. （2-3） 再分析一月份的用水量是否超过最低限量，不防设9?a，将x=9代入（2-2）式得
9?8?2?9?a??c，2a?c?17，
与（2-3）式矛盾，所以
9?a，
故一月份的付款方式应选（2-1）式，则
8?c?9，c?1，
因此
a?10，b?2，c?1.
二、建立数列模型，现实世界的经济活动中，诸如增长率、降低率、复利、分期付款等与年份有关的实际问题常常归结为数列问题，通过建立数列模型来解决.
例5 （购房付款方式问题）某房地产开发公司因有大量住房闲置，为盘活资金，促进住房销售，提出了两种优惠售房方案: 第一种方案是分期付款，2000年元月要求购房者先付12万元，然后从第二年起每年元月付款2万元，连续付5年（假设这5年中银行存款的年利率为2%）；第二种方案是2000年元月一次性付款21.2万元，如果购房者都从银行取款购房，试问: 他们采用哪一种方案付款合算，请加以说明.
（结果精确到小数点后两位，计算时，可以选用如下数据: 1.024?1.08，1.025?1.10，1.026?1.13）.
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解 终值比较法，选择比较的时点是2005年元月 分期付款模型
2000 2001 2002 2003 2004 2005
12 12?1?200? ? ? ? 12(1+2%)5 2 2?1?200? ? ? 2?1?200?4
2 ? ? 2?1?200?3
2 ? 2?1?200?2
2 2?1?200?
2 经分析得
S分=12(1+2%)5+2(1+2%)4+?+2(1+2%)+2?23.2万元， S合=21.2 ? 1.02?23.32万元，
可见第一种方案比较合算.
三、建立三角函数模型
例6 通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞，落潮时离开，某港口水深y与时间t的函数记作y?f?x?，下面是该港口在某季节每时水深的数据:
表2-3
t y
1 10.0 3 13.0 6 9.9 9 7.0 12 10.0 15 13.0 18 10.1 21 7.0 24 10.0 经长期观察，y?f?x?的曲线可以近似看作函数y?Asin?t?k的图像.
问 一般情况下，船舶航行时船底到海底的距离在5米或5米以上是安全的，某船吃水深度为6.5米，如果该船想在同一天进出港，问至多能停留多久？
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解 根据数据得
y?3sin?6?10，
船出港时水深不小于5?6.5?11.5米，即
3sin?6?10?11.5，
得
2k???6??6t?2k??5?， 6同一天内取k?1或0，得
1?t?5 或 13?t?17，
所以最早凌晨1点进港，最迟下午17点出港.
四、建立计数（排列）模型，这一模型在日常生活中也是常常遇到的，在教材中这一模型的应用题较多
例7 （值日表的排法种数问题）A、B、C、D、E五个人排一个五天的值日表，每天由一人值日，每人可以值多天或不值，但相邻两天不能由同一人值，那么值日的表排法种数有多少种?
解 此题若从人选位置角度去分类考虑比较繁琐，转换角度，从位置选人去思考，将五天看作五个位置，首位五个人都有可能，第二位只有四个人有可能，第三位也是四个人有可能，第四位和第五位也是四个人有可能，如下图所示值日表排法种类共有5×4×4×4×4=1280种.
表2-4
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五、建立增长模型
4 4 4 4 例8 某地现有耕地1万公顷，规划10年后，粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（1.099≈1.0937 1.0110≈1.1046）
解 建立数学模型：找出题中所涉及对象并用符号表示如下：
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现有土地数量M1 十年后土地数量M2 现有单产量N1 十年后单产量为N2 现有人口数P1 十年后人口数P2 现人均占有量A1 十年后人均占有量A2 这些量之间具有如下关系：
A1?M1?N1P1 A2?M2?N2P2 A2?A1??1?1000?，
P2?P1??1?100?10 N2?N1??1?2200?，
由此可得
M1?N1??1?1000?/P1= M2?N1??1?2200?/[P1??1?100?10]. （2-4）
若设平均每年耕地减少量为x公顷，则有如下关系
M2= M1—10x，
对（2-4）式化简整理，并代入M1?104，得
104 ??1?1000?=（104—10x）??1?2200?/?1?100?10.
关于x的上述方程即可作为原题的数学模型，注意到x增大时，方程右端的值单调减少， 所以根据这一模型的解x?4来给出原题的答案时，应是x至多为4，即x?4，也即平均每年减少至多4公顷.
中学里的应用题都可转化为我们所熟悉的代数式、方程、不等式、函数以及几何图形、几何关系等数学模型来进行解决. 由于问题的多样性、灵活性，为了构建数学模型，就要求学生对有关数学知识充分理解，有时还涉及其他自然科学知识，要求学生具备敏锐的观察力，良好的想象力以及灵感和顿悟，较强的抽象思维和创新意识，要求学生具备较强知识应用能力和实践能力.
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