2
∴a2＋b2≥2(a＋b)成立．
综上所述，对任意实数a，b不等式都成立．
s2
18．证明 要证s<2a，由于s2＝2ab，所以只需证s 1 因为s＝2(a＋b＋c)，所以只需证2b 由于a，b，c为一个三角形的三条边，所以上式成立．于是原命题成立． 1 19．解 (1)令n＝2，∵a1＝6， 2×2＋1 ∴S2＝a2， 2 1 即a1＋a2＝3a2.∴a2＝12. 3×3＋1 令n＝3，得S3＝a3， 2 1 即a1＋a2＋a3＝6a3，∴a3＝20. 4×4＋1 令n＝4，得S4＝a4， 2 1 即a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，∴a4＝30. 1 (2)猜想an＝，下面用数学归纳法给出证明． n＋11n＋21 ①当n＝1时，a1＝6＝，结论成立． 1＋11＋2 ②假设当n＝k时，结论成立， 1 即ak＝， k＋1k＋2kk＋1kk＋11 那么当n＝k＋1时，Sk＝ak＝·22k＋1k＋2k＝， 2k＋2k＋1k＋2Sk＋1＝ak＋1， 2k＋1k＋2 即Sk＋ak＋1＝ak＋1. 2k＋1k＋2kk∴＋ak＋1＝ak＋1. 22k＋22k＋2 ∴ak＋1＝ k＋1k＋2k－1＝ 2kk＋31k＋2 ＝. k＋2k＋3 当n＝k＋1时结论成立． 1 由①②可知，对一切n∈N*都有an＝. n＋1n＋2 20．解 当n＝2时，由f(1)＝g(2)·[f(2)－1]， f11 得g(2)＝＝＝2， 1f2－1 1＋2－1 当n＝3时，由f(1)＋f(2)＝g(3)·[f(3)－1]， f1＋f2 得g(3)＝1＋1 1＋f23－1＝＝3， 11 1＋2＋3－1猜想g(n)＝n(n≥2)． 下面用数学归纳法证明： 当n≥2时，等式f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1]恒成立． ①当n＝2时，由上面计算可知，等式成立． ②假设n＝k(k∈N*且k≥2)时，等式成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1) ＝k[f(k)－1](k≥2)成立， 那么当n＝k＋1时， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k) ＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k 1 ＝(k＋1)[f(k＋1)－]－k k＋1 ＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当n＝k＋1时，等式也成立． 由①②知，对一切n≥2的自然数n，等式都成立， 故存在函数g(n)＝n，使等式成立．
