不超过 次。
2x??y?y??y 在[0,1]上欧拉计算格式 9.写出初值问题??y(0)?1??y??f(x,y)10．解初始值问题?的梯形方法是 阶方法
y(x)?y0?0二、综合题（每题10分，共60分）
1．证明方程x?x?1?0在区间[1，2]内有唯一根x*，用牛顿迭代法求x*(精确至3位小数)。
3?x1?x2?x3?3?2．用列主元消去法解线性方程组?x1?3x2?2x3?2;
?2x?2x?x?123?13．给定数据x=0,1,2,3，对应函数值分别为y=1,3,2,4，求三次拉格朗日或牛顿插值多项式。
?2?10???4．设有矩阵A??12?1 用“规范化”的方法求其按模最大的特征值及对应的特
???0?12???征向量（注：求迭代4次即可）
?y??y25．用改进的Euler方法求初值问题 ? , (0?x?1,取步长h?0.1) .
y(0)?1? 6．给定数据f(0.1)?5.1234, f(0.2)?5.3053, f(0.3)?5.5684，求一次最小二乘拟合
多项式。 三、证明题（10分）
?a11x1?a12x2?b1设线性方程组为?，a11a22?0
ax?ax?b?2112222（1） 证明用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法解此方程组要么同时收敛，要么同时发
散；
（2） 当同时收敛时，比较它们的收敛速度。
参考答案
一、填空题 1. u?11, y?((8u-4)u?2)u?1, ; 2. 6, 6; 2x?39?803. g' (x)?0, g' (x)?0, g'' (x)?0; 4. a?1;
2(k?1)5. maxaik; 6. 2, 1, x?x?1; 7. ?'(x)?L?1; 8. n，2n?1;
***k?i?n2xn?y?y?h(y?)?n?1nnyn 10. 二 9. ??y?1?0二、综合题
1.令f(x)?x?x?1,3f'(x)?3x2?1?0,f(x)在（，）严格单增12
f1)??1, 又（（f2）?5，?（fx）在（，）上有唯一根；12
xk3?xk?1由牛顿迭代公式 xk?1?xk?， 23xk?1取x0=，得 {1.2, 1.34217, 1.325, 1.32472, 1.32472, 1.32472}
或取x0?1.0，{1., 1.5, 1.34783, 1.3252, 1.32472, 1.32472} , 所以x*?1.32472. 2
．
?1?(A,b)??1?2??2???0?0??2403??2??3?22???1??211???11?2.55/411?2311??2???22???0?013???1?2421???2.51.5? 0.52.5??1
1??1.5?, 故x1? x2? x3?1. 5/4??23. N3(x)?1?2x?3/2 x (x?1)?x (x?1) (x?2)?x3?4.5 x?5.5x?1 32或 L3(x) ?x?4.5 x?5.5x?1 T4．取u0?(1,1,1) ，由乘幂法得，
V1=Au0 =(1,0,1)T ， u1=(1,0,1)T ，V2=Au1 =(2,-2,2)T ,u2=(1,?1,1)T
V3=Au2=(3,-4,3)T, u3=(?0.75,1,?0.75)T ?1?3.4142,x1?(?0.7071,1,?0.7071)T
5．改进的Euler方法
2f(xn,yn)? yn，yn?1?yn?h/2[f(xn,yn)?f(xn?h, yn?h f(xn,yn))]
h?0.1,取x0?0.0，经计算得 ：y0?1.0 ;x1?0.1，经计算得 ：y1?1.1105 x2?0.2，经计算得 ：y2?1.24828 ;x3?0.3，经计算得 ：y3?1.42476 ; x4?0.4，经计算得 ：y4?1.65874 ; x5?0.5，经计算得 ：y5?1.9833
{0.6,2.4624},{0.7,3.23643},{0.8,4.67773},{0.9,8.12877},{1.,22.2908}}
6．设所求一次拟合多项式为 S1(x)?a0?a1x或基函数为{1,x} 与(xi,yi)((0.1,5.1234),(0.2,5.3053),(0.3,5.5684) ),做最小二乘拟合：
(?0,?0)?3,(?0,?1)?0.1?0.2?0.3?0.6,(?1,?1)?0.12?0.22?0.32?0.14,(?0,f)?5.1234+5.3053+5.5684=15.9971(?1,f)?0.1?5.1234+0.2?5.3053+0.3?5.5684=3.24392,
,得正规方程组
0.6??a0??15.9971??3???????, 解得a0?4.8847, a1?2.2250， 0.60.143.24392a???1???故 S1(x)? 4.8847?2.2250x. 三、证明题
?a11a12?a12a21r?证明：系数矩阵A??，记 ?aaaa1122?2122?（1）雅可比迭代矩阵J的特征方程为
?a11a21a1222?0，即a11a22??a12a21?0，或??r。?a22当r?0时，
?1?r,?2??r；当r?0时，?1?0,?2?0；当r?0时，
?1?ir,?2??ir。所以?(J)?r。
高斯-塞德尔迭代矩阵G的特征方程为
?a11a12?0，即a11a22?2?a12a21??0，或
?a21?a22?2??r，解得?1?0,?2?r，所以?(G)?r。所以，当r?1时，?(J)?1,?(G)?1；
当r?1时，?(J)?1,?(G)?1，因而两种迭代法要么同时收敛，要么同时发散. （2）当r?1时，同时收敛，且?(G)??(J)，所以高斯-塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快。