6．给定线性方程组??9x1?x2?8，则解此线性方程组的Jacobi迭代公式
?x1?5x2??4是 ，Gauss-Seidel迭代公式是 7．插值型求积公式
?Ak?0nkf(xk)??f(x)dx的求积系数之和是
ab8．数值求解初值问题的龙格--库塔公式的局部截断误差是
9. 已知函数f(0.4)?0.411, f(0.5)?0.578 , f(0.6)?0.697，用此函数表作牛顿插值多
项式，那么插值多项式x的系数是
2?210???10． 设A?12a，为使A可分解为A=LLT，其中L是对角线元素为正的下三角????0a2??矩阵，则a的取值范围是 。 二、综合题（每题10分，共60分）
1．用Newton法求方程x?lnx?2在区间(2, ?)内的根, 要求
xk?xk?1xk?10?8.
?10?1??12??12?
??b??13?，?? 如
2．设有方程组Αx?b，其中A?221，已知它有解x??13，
??????????022????23???0??
果右端有小扰动δb?1??10?6，试估计由此引起的解的相对误差。 221/x3．试用Simpson公式计算积分edx的近似值, 并估计截断误差.
1?4．设函数f(x)在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3
?的多项式P3(x)，使其满足P 3(0)?0,P3(1)?1,P3(1)?3,P3(2)?1，并写出误差估计式。
?2?10???5．A??12?1，给出用古典Jacobi方法求A的特征值的第一次迭代运算。 ????0?12???y'?y?0?2?h?6．用梯形方法解初值问题?， 证明其近似解为yn??，并证明当h?0??2?h??y(0)?1时，它收敛于原初值问题的准确解y?e。 三、证明题（10分）
?xn若f(x)??axii?1ni有n个不同的实根，证明
?i?1n?0,xk?j??1f?(xj)?,?an0?k?n?2k?n?1.
参考答案
一、填空题
1. 3, 0.5?10 ; 2. 10; 3. 2n-1; 4. ?15. ?cond(A);
(k?1)(k)(k?1)(k)???x1?(8?x2)/9?x1?(8?x2)/96. ?, k?0,1,L, ?(k?1), k?0,1,L
(k?1)(k)(k?1)???x2?(4?x1)/5?x2?(4?x1)/557. b?a; 8. O(h); 9. －; 10 . ?3?a?3 -35?a?0;
二、综合题
1．此方程在区间(2, ?)内只有一个根s，而且在区间（2，4）内。设f(x)?x?lnx?2 则f'(x)?1?11，f''(x)?， Newton法迭代公式为 xx2xk?1?xk?xk?lnxk?2xk(1?lnxk)?， k?0,1,2,?
1?1/xkxk?1 取x0?3，得s?x4?3.146193221。
??11?1?δx?δb????12．解 A?2?11.5，Cond(A)?22.5，由公式，有?Cond(A)??x?b????21?1??δxx3．
??1?10?6?22.5?2?1.6875?10?5
23?21e1/xdx?2?11123624(e?4e1/1.5?e1/2)?2.0263, f(4)?(8?7?6?5)e1/x ， 6xxxx1?x?2maxf(4)(x)?f(4)(1)?198.43，
(2?1)5maxf(4)(x)?0.06890 截断误差为R2?28801?x?25372(x)??x?7x?x 4．由所给条件可用插值法确定多项式P3(x)，P3222(由题意可设R(x)?f(x)?P3(x)?k(x)x(x?1)(x?2)为确定待定函数k(x)，作辅助
2函数：g(t)?f(t)?P3(t)?k(x)t(t?1)(t?2),则g(t)在[0,3]上存在四阶导数且在
[0,3]上至少有5个零点t?x, t?0,1,2（t?0为二重零点），反复应用罗尔定理，知至
少有一个零点??(0,3)，使g(4)(?)?0，从而得k(x)?1(4)f(?)。故误差估计式为4!R(x)?1(4)f(?)x(x?1)2(x?2)，??(0,3)。 4!5．首先取i?1,j?2，因cot2??0，故有???4，于是cos??sin??1，2V(0)?1?2??1?V12(?)???2??0??12120?0???0??1???，
A(1)?V(0)A(0)V(0)T11???1??0??010???2??22???2?10????11? ???1???0???12?1??0???03?222???????0?12???1?01??11??0??2????2?????2?h6. 梯形公式为yn?1?yn?[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)]，由f(x,y)??y，得
2hyn?1?yn?(yn?yn?1)，
22?h2?h22?hn?12?hn?1所以yn?1?(用上述梯形公式以步)yn?()yn?1?L?()y0?()，
2?h2?h2?h2?h长h经n步计算得到yn，所以有hn?x，所以
x2?hn2?hhlimyn?lim()?lim()?e?x． h?0h?02?hh?02?h?1?2??1???2??0??12120三、证明题 证
明
由
于
f(x)??aixii?1n有
n个不同的实根，故
f(x)?an(x?x1)(x?x2)L(x?xn)@anwn(x),于是
?i?1nnxkxk1jj????(xj)anf?(xj)i?1anwnnxkj ??(xj)i?1wnn记 g(x)?x，则
k?i?1nxk1j?f?(xj)ang(xj)1?g[x1,x2,L,xn]， ??ani?1wn(xj)0?k?n?2k?n?1.
再由差商与导数的关系知
?i?1n?0,xk?j??1f?(xj)?,?an
模 拟 试 卷（四）
一、填空题（每小题3分，共30分）
1． 为了减少运算次数，应将算式y?1?248??改写232x?3(2x?3)(2x?3)为 ，为减少舍入误差的影响，应将算式9?80改写为 。
??111???，A? ，A? 。
112．A?2 1 ??????3?2?1??3．设在x?g(x)的根 x 附近有连续的二阶导数，且g' (x*)?1，则
当 时迭代过程xk?1?g(xk)是线性收敛的，则当 时迭代过程xk?1?g(xk)是平方收敛的。 4．设A??*?a10?kalimA?0 ，则当满足 时，有?k???01?5．用列主元消去法解线性方程组Ax=b时，在第k－1步消元时，在增广矩阵的第k列取
(k?1)(k?1)主元ark，使得ark? 。
6．已知函数f(0)?1, f(1)?3 , f(2)?7，则f[0,1]= ，f[0,1,2]= ，f(x)的
二次牛顿插值多项式
0，0可以表成x?? (x)，7．求解方程f(x)? 若f(x)? 则用简单迭代法求根，那么? (x)
满足 ，近似根序列x1,x2,L,xn,L一定收敛。 8．n?1点插值型数值积分公式
?Ak?0nkf(xk)??f(x)dx的代数精度至少是 次，最高
ab