?10?2???1???，x??3?，则A= ________，x02． 设A?11 1???????3?82???1?? 2= .
?2 x1?5x2?13．对于方程组?, Jacobi迭代法的迭代矩阵是GJ=________.
10x?4x?32?14．设f(x)?x3?x?1，则差商f?0, 1, 2, 3?=__________，f?0, 1, 2, 3,4?=_______. 5．已知A???12?, 则条件数Cond?(A)_________. ??01?6．为使两点的数值求积公式
?1?1f(x)dx?f(x0)?f(x1)具有最高的代数精确度，则其求积
基点应为x0=__________， x1=__________
?y??f(x,y)7．解初始值问题?近似解的梯形公式是yk?1?
y(x)?y0?08．求方程f(x)?0根的弦截法迭代公式是 9. 计算积分
?10.5xdx，取4位有效数字，用梯形公式计算求得的近似值是 ， 用辛
卜生公式计算的结果是
10．任一非奇异矩阵A的条件数Cond(A)＝ ，其Cond(A)一定大于等于
二、综合题（每题10分，共60分）
1 证明方程1?x?sinx在区间[0,1]有且只有一个根，若利用二分法求其误差不超过
1?10?4近似解，问要迭代多少次？ 22 已知常微分方程的初值问题：
?dyx??,1?x?1.2, ?dxy?y(1)?2?试用改进的Euler方法计算y(1.2)的近似值，取步长h?0.2.
?335??x1??10???????T3 用矩阵的LDL分解法解方程组 ?359?x2??16?.
???5917??x??30????3???4 用最小二乘法求一个形如y?1的经验公式，使它与下列数据拟合. a?bx x y ?x?0.4y?0.4z?1?5 设方程组?0.4x?y?0.8z?2，试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯－赛德尔迭代
?0.4x?0.8y?z?3?法的收敛性。
?4?11???6 按幂法求矩阵A??13?2的按模最大特征值的近似值，取初始向量????1?23??x(0)?(1,0,0)T，迭代两步求得近似值?(2)即可.
三、证明题（10分） 已知求的迭代公式为：
证明：对一切k?1,2,L, xk?a， 且序列xk是单调递减的，从而迭代过程收敛.
参考答案
一、填空题
1．6， 7； 2. 9, 11; 3 . ?7. yk??02.5?11?; 4. 1, 0; 5. 9; 6. , ; ?33?2.50?h[f(xk,yk)?f(xk?1,yk?1)]; 2f(xk)(xk?xk?1) ； 9. , ; 10. A?1A, 1
f(xk)?f(xk?1)8. xk?1?xk?二、综合题
1 解 令f(x)?1?x?sinx，则f(0)?1?0，f(1)??sin1?0，且f?(x)??1?cosx?0 故1?x?sinx在区间[0,1]内仅有一个根x. 利用二分法求它的误差不超过解此不等式可得 k?*111?10?4的近似解，则 |xk?1?x*|?k?1??10?4 2224ln10?13.2877 ln2所以迭代14次即可.
2、解：
k1?f(x0,y0)?0.5,k2?f(x1,y0?hk1)?0.571429,hy1?y0?(k1?k2)?2?0.1?(0.5?0.571429)?2.1071429
2
?335??1???3 解 设?359??l211??5917??l???31l32利用矩阵乘法可求得
??d1?????1???d2??1l21l31????l321? ??d3??1????d1?3，d2?2，d3?25，l21?1， l31?，l32?2 33???1??y1??10???y???16? 得y?10,解方程组 ?111???2??????5???y3???30???321??y2?6,y3?4， 35?????113??x??d1?1??10????1??????1d再解方程组 ?12??x2???2??6? 得x1?1,x2??1,x3?2.
?????d3?1??4?x1???3????????3?????4 解 令Y?1，则Y?a?bx容易得出正规方程组 y?59??a??16.971????????，解得 a??2.0535,b?3.0265. 917.8b35.3902??????故所求经验公式为 y? 5 解
1.
?2.0535?3.0265x0.40.43（1）由于fJ(?)?0.4?0.8???0.96??0.256
0.40.8?fJ(?1)??1?0.98?0.256?0，fJ(?2)??8?1.96?0.256?0
所以fJ(?)?0在(?2,?1)内有根?i且|?i|?1，故利用雅可比迭代法不收敛.
??（2）由于fG(?)?0.4?0.4?0.40.8??(?2?0.832??0.128)
0.4?0.8??所以?(G)?0.832，故利用高斯－赛德尔迭代法收敛. 6 解 因为x(0)?[1,0,0]T，故Px(0)P??1，
T(1)且y(1)?Ax(0)??4,?1,1?，?从而得
?max(y(1))?4.
?(2)11Tx(1)?y(1)/Py(1)P?[1,?,]?449?max(y(2))?.
2，
999y(2)?Ax(1)?[,?,]T244，
三、证明题 证明: 由于 xk?1?1a(xk?)?a,k?0,1,2,L 2xkxk?11a1?(1?2)?(1?1)?1 xk2xk2所以 xk?1?xk，即序列{xk}是单调递减有下界，从而迭代过程收敛.
故对一切k，xk?a，又
模 拟 试 卷（三）
一、填空题（每小题3分，共30分）
1．设a?2.40315是真值x?2.40194的近似值，则a有 位有效位数，相对误差限
为 ；
2． 若用二分法求方程f(x)?0在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对
分 次。
3．有n个节点的高斯求积公式的代数精度为 次.
24．设?(x)?x?a(x?5)，要使迭代格式xk?1??(xk)局部收敛到x?5，则a的取值
*范围是
5．设线性方程组Ax=b有唯一解，在不考虑系数矩阵扰动的情况下，若方程组右端项的
扰动相对误差
δbδx? ，就一定能保证解的相对误差??； bx