模 拟 试 卷（一）
一、填空题（每小题3分，共30分）
1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.
?15?2??3???，x???4?，则A= .，x= ______.
02．设A??21 ? 1????????1?42???2?3．已知y=f(x)的均差（差商）f[x0,x1,x2]? 141591，f[x1,x2,x3]? ，f[x2,x3,x4]?，33158f[x0,x2,x3]? , 那么均差f[x4,x2,x3]= .
3(4)4．已知n=4时Newton－Cotes求积公式的系数分别是：C0?(4)C3＝ .
716(4)2,C1(4)?,C2?,则904515?y??f(x,y)5．解初始值问题?的改进的Euler方法是 阶方法；
y(x)?y0?0?5x1?3x2?0.1x3?3?6．求解线性代数方程组??2x1?6x2?0.7x3?2的高斯—塞德尔迭代公式为 ，
?x?2x?3.5x?1123?若取xr(0)r?(1,?1,1), 则x(1)? .
7．求方程x?f(x)根的牛顿迭代格式是 . 8．l0(x), l1(x),L, ln(x)是以整数点x0, x1,L, xn,为节点的Lagrange插值基函数，则
?xlkk?0nj(xk)= .
(k?1)9．解方程组Ax?b的简单迭代格式x?Bx(k)?g收敛的充要条件是 .
10．设f(-1)?1,f(0)?0,f(1)?1,f(2)?5，则f(x)的三次牛顿插值多项式
为 ，其误差估计式为 .
二、综合题（每题10分，共60分）
1．求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：p(1)?15，p?(1)?20，p??(1)?30
p(2)?57，p?(2)?72.
2．构造代数精度最高的形式为
1xf(x)dx?Af()?A1f(1)的求积公式，并求出 0?021其代数精度.
3．用Newton法求方程x?lnx?2在区间(2, ?)内的根, 要求
2xk?xk?1xk?10?8.
4．用最小二乘法求形如y?a?bx的经验公式拟合以下数据：
19 25 30 5．用矩阵的直接三角分解法解方程组
38 ?1?0??1??0020??x1??5??x??3?101?? ?2????.
243??x3??17??????103??x4??7??y??f(x,y)的如下数值求解公式
?y(0)?y06 试用数值积分法建立求解初值问题?hyn?1?yn?1?(fn?1?4fn?fn?1)，
3其中fi?f(xi,yi),i?n?1,n,n?1.
三、证明题（10分）
设对任意的x，函数f(x)的导数f?(x)都存在且0?m?f?(x)?M,对于满足
0???2*的任意?，迭代格式xk?1?xk??f(xk)均收敛于f(x)?0的根x. M
参考答案
一、填空题
1．5； 2. 8, 9 ; 3.
?x1(k?1)?(k?1)(k)?(2?2x1(k?1)?0.7x3)/6, ，6. ?x2，
?(k?1)(k?1)(k?1)?x3?(1?x1?2x2)*2/77. xk?1?xk?9116； 4. ； 5. 二； 1545(k)(k)?(3?3x2?0.1x3)/5xk?f(xk); 8. xj; 9. ?(B)?1;
1?f?(xk)10.
131x?x2?x,66f(4)(?)(x?1)x(x?1)(x?2)/24??(?1,2)
二、综合题 1．差商表：
1 15 20 15 7 1 1 1 2 2 15 20 22 8 15 42 30 57 72 57 p(x)?15?20(x?1)?15(x?1)2?7(x?1)3?(x?1)3(x?2)?5?4x?3x2?2x3?x4
其他方法：
设p(x)?15?20(x?1)?15(x?1)2?7(x?1)3?(x?1)3(ax?b) 令p(2)?57，p?(2)?72，求出a和b. 2．取f(x)?1,x，令公式准确成立，得：
11111, A0?A1?, A0?, A1?. 22336151f(x)?x2时，公式左右?；f(x)?x3时，公式左?, 公式右?
5244∴ 公式的代数精度?2. A0?A1?3．此方程在区间(2, ?)内只有一个根s，而且在区间（2，4）内。设f(x)?x?lnx?2 则f'(x)?1?11， f''(x)? ，Newton法迭代公式为
2xxxk?1?xk?xk?lnxk?2xk(1?lnxk)?， k?0,1,2,?
1?1/xkxk?1取x0?3，得s?x4?3.146193221。 4． ??span{1,x}，AT??TT2?1?192111?，yT??19.032.349.073.3?.
?? 222?253038??43330?? ，
?33303416082?解方程组AAC?Ay，其中ATA??解得：C??5．解 设
?1.41665??
?0.0504305?所以a?0.9255577， b?0.0501025.
?1?0??1??0020??1?l1101????21243??l31l32??103??l41l42??10??u22??????1??2u23u330?u24?? u34??u44?1l43由矩阵乘法可求出uij和lij
?1?l?211?l31l32??l41l42?10?u22????1l432u23u33??1???01????? ??121????1??0101?0??1020??101?u24?????
u34??21????u44??2??1??y1??5??01??y??3???2???? 解下三角方程组 ??121??y3??17???????0101???y4??7?有y1?5，y2?3，y3?6，y4?4.
?102?10再解上三角方程组 ??2??得原方程组的解为x1?1，x20??x1??5??x??3?1???2???? 1??x3??6??????2??x4??4??1，x3?2，x4?2.
6 解 初值问题等价于如下形式y(x)?y(xn?1)?取x?xn?1，有y(xn?1)?y(xn?1)??xxn?1f(x,y(x))dx，
?xn?1xn?1f(x,y(x))dx， h(fn?1?4fn?fn?1). 3利用辛卜森求积公式可得yn?1?yn?1?三、证明题
?(x)， 证明 将f(x)?0写成x?x??f(x)@由于 ??(x)?[x??f(x)]??1??f?(x)，所以|??(x)|?|1??f?(x)|?1
*所以迭代格式xk?1?xk??f(xk)均收敛于f(x)?0的根x.
模 拟 试 卷（二）
一、填空题（每小题3分，共30分）
1．分别用和作数e的近似值，则其有效位数分别有 位和 位 ；