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的统计图像模型等。相应地也研究出了各种分割算法，如基于区域的分割、合并分割算法等。基于图像模型的分割在易于实现的同时，准确的图像模型还可以提高分割的质量，因此对图像模型的研究，不仅是各种应用的需要，而且也是分割取得突破性进展的关键问题[8]。在国内，每年《计算机辅助设计与图形学学报》、《中国图像图形学报》等报刊都会刊登很多有关图像分割的研究成果。近几年，北京大学周蜀林主持的国家自然科学基金项目-图像分割的变分方法和应用，说明了国家对图像分割研究的重视。但目前国内外对图像分割结果的评价和准则系统的研究仍然很缺乏。
1.3.3 基于适当最优准则实现图像的分割方法
给定标号场的先验分布p???和灰度场的条件分布p??|y?后，按照Bayes理论，在给定观测图像的条件下，p??|y?的表达式为:
p??|y??p?y|??p???
（1-1）
下面给出几种经常使用的图像分割标准:
(1)按照MAP(maximum a posterior)准则来分割图像[9]
在已知图像标号的先验分布和在给定标号的前提下分布图像灰度场(或特征场)的条件，那么MAP估计就是最大后验概率的解，即
??argmaxp??|y??argmaxp?y|??p??? ? （1-2）
实质上MAP估计是缩小图像中的像素分类错误的概率，因为任何分割算法都可能会分类错误。MAP估计在实际应用中有非理想的全局性，如在多分辨率分析下，随着尺度的增加而MRF的系数也会增加，这违背了人的直觉，因为越粗糙的尺度MRF的局部相应的系数应该越小。此外MAP估计会使图像的边缘模糊化，并消除细小的结构，这主要是因为标号场的先验分布把区域边缘的各向异性与区域内的一致性合并起来作为图像分割的正则条件不当所引起，所以导致图像分割不适定的问题没有得到最好的答案。这种准则一般应用于对分割对象精度要求不太高，但是对物体的纹理要求较高的场合。
(2)基于MPM估计准则[10]来分割图像
??argmaxp??s|y??
（1-3）
作为MAP估计的一种替代，最大后验边缘估计是最小分类像素的期望值。已表明MPM估计标准比MAP估计标准更加适合图像分割，因为不管错误的分割像素的数目与真正的分割多么不同，MAP估计分配都会给每个不正确分割一样的代价；但是MPM估计是根据不正确分割的像素数分配给相应的代价。而MPM估计需要模拟退火类似的复杂计算，当进行分割的质量区分时，MPM不考虑空间位置的误差。
(3)基于最小方差估计准则来分割图像
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??E[?p??|y?] ? （1-4）
式（4-4）中是一种基于观测图像的最小方差无偏估计，从空间投影的角度来确定，
?与?的空间距离最小。这种方法是在总体平均条件下的分割误差最小，其此估计是使?局部有可能会出现严重的分割误差。
(4)基于SMAP估计准则来分割图像
??argminE[Csmap???0,??|Y?y] （1-5）
随着观察图像的尺度增加，SMAP估计标准是逐渐分配给较大的误差代价，由于较大的尺度容易导致更多的像素误分类，具有从粗尺度到细尺度一系列优化分割的优点，这符合人类的视觉原理。从估计的精确度来说，它比MAP标准优秀；从算法的可行性来看，它形成了一套更加有效的计算方法，需要更小的计算量。
1.3.4 基于小波变换的图像分割方法
小波变换是一种近年来得到广泛应用的数学工具，是空间(时间)和频率的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息。小波变换从图像分割的角度看，有以下几个优点
[9]
：
(1) 通过选取合适的滤波器，小波变换可以最大程度地减小或消除所提取信息的不
同特征之间的相关性；
(2)小波变换实现上有快速算法(即Mallat小波分解算法)；
(3)小波变换具有“变焦”特性，在高频段可以用低频率分辨率和高时间分辨率，在低频段可以用高频率分辨率和低时间分辨率；
(4)小波分解可以覆盖整个频域，从而在数学上可以提供一个完备的描述。 小波理论在图像处理方面的应用日益成熟，小波变换具有方向性、多分辨率特性、非冗余性、以及小波系数具有重拖尾和持续性的非高斯分布等特性，对于刻画图像的非平稳性，小波理论提供了有效的工具。通过利用小波变换的多分辨率特性，让特征场建立在一系列小波域上，使相应分辨率的标号场利用该尺度的特征场，这样有利于刻画图像的非平稳性，小波系数随着分辨率的不同而具有不同的特征向量，从而有利于反映特征场的本质特征。同时对每一小波系数引入有限的隐状态，来反映小波系数的非高斯分布的特性。描述小波系数的非高斯分布需要用两个状态的高斯混合分布，纹理的小波系数、边缘用较大状态的方差来表示，平滑区域的小波系数用较小状态的方差来表示。大多数真实图像都可以使用这种模型，但该模型不具有通用性，如背景为较平滑的区域，受光照影响的交通图像分割问题，物体有纹理则相应的小波系数较大，但阴影的小波系数介于背景与物体之间，所以很难用两个状态的小波系数来表示图像的特征[10]。
与小波系数服从非高斯分布与高斯分布相背离来比较，小波系数通过有限通用混合分布(FGM)来逼近小波系数的分布似乎更加合理。同时在标号场先验模型确定的基础上，
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HMT(即Hidden Markov Tree)模型没有具体表达式来给出标号场先验概率分布，认为父节点周围36个小波系数的标号与标号有关，这与小波系数的紧支撑性不同并且与小波系数的局部相关性也相互矛盾。另外，认为小波系数的标号是相互独立的的说法与尺度间小波系数的持续性、紧支撑性相背离，由于父节点与子节点一般都具有相同的标号，而且父节点周围的三个节点小波系数的标号与子节点的标号有关联。标号场体现的不是独立的作用关系而是小波系数标号的相互关系。
1.4 本文的组织结构
图像分割是数字图像处理中的重要技术之一，是图像处理的核心技术。但是图像模型的准确建立是影响图像分割质量好坏的重要因素。
本文对小波变换在图像分割中的应用进行了研究，主要内容有：
第一章首先介绍了空域图像分割、频域图像分割和小波域图像分割。详细地叙述了图像分割技术的研究背景，包含了图像分割在国内外的发展及现状和小波变换在图像分割中的方法，为全文研究的小波变换在图像分割中的应用提供理论基础。
第二章首先详细阐述了小波理论、小波变换的理论。为第三章和第四章图像分割方法的提出奠定了理论基础。
第三章首先介绍了小波阈值分割方法的原理，然后阐述了阈值分割的算法，最后分别对小波阈值分割方法和传统阈值分割法进行仿真实验，通过对比表现出小波阈值分割的优点，这也是本文的创新点。
第四章通过前三章对小波变换在图像分割中的应用的详细阐述，进一步进行总结，指出小波变换在图像分割中应用的广泛，但随着科技的日益发展，图像分割的技术与理论还需进一步的完善。
2 小波变换理论
2.1 小波理论
小波（wavelet）,是在有限的时间范围内变化，并且它的平均值为零的数学函数。
2小波函数的精确定义为：设??t?为一平方可积函数，即?(t)?L?R?,如果其傅里叶
变换??w?满足条件：
??w?2?Rwdw?? （2-1）
其中称??t?为一个小波母函数或基本小波，称上面的公式为小波函数的可容许性条件。
从小波的定义可以知道小波的特点是小，即它们在时域都具有紧支集或近似紧支
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集；还具有正负交替的波动性。
2.2 小波变换 2.2.1 小波变换的概述
小波变换的基本思想是：先找到一个满足一定条件下的基本小波函数，通过对其进行伸缩和平移来构成小波函数族好的分析和处理[11]。
一般我们把选取的基本小波函数用??x?来表示，??x?又称为母小波函数，而所选取的母小波函数又必须满足如下条件：
??g?t?a,b?R?,其中每个g?t?在时域和频域上都具
a,ba,b有比较好的局部性，再利用这个小波函数去表示和逼近所需研究的信号，这样有利于更
|??w?|2C???dw??w??
?? （2-2）
式（2-2）中的??w?是??x?的傅里叶变换。在满足允许条件的前提下，所选取的母小波函数都可看作是一个带通滤波器的脉冲响应.由上式可直接得出：
??????x?dx?0 （2-3）
上式（2-2）和（2-3）是完全等价的，式（2-3）表明??x?具有一定的震荡性。对母小波函数进行伸缩和平移以后便可得到如下小波函数族：
{?a,b?x?|?a,b?x?}?|a|这里的
?12?x?b?????a?
（2-4）
?a,b?x?称为小波函数（简称小波）。b?R，a?R{0}，a、b分别称为伸缩
和平移因子，变量a反应函数的宽度或尺度，变量b指明函数沿着x轴的平移位置。一
??x?般情况下，母小波函数??x?能量集中在原点，而小波函数a,b能量集中在b点[8]。
2.2.2 正交小波基的种类
(1) Haar小波
Haar系的函数是不连续的，并且它在频域上随着w的衰减速度只为
1w，所以频域
的局部性能不好，但是它的结构简单，经常运用到理论研究中。其中Haar 小波函数图象如图2.1所示。
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