第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性
辐角f(fx,fy)表示频率为fx,fy的余弦像分布相对于物或理想像的横向位移量，所以把f(fx,fy)称为位相传递函数。
MTF 1 MTF a b
0 Fao fx 0 Fao Fbo f
x
图 4.5.2调制传递函数随空间频率的变化
调制传递函数曲线是一个随空间频率递减的曲线，如图4.5.2所示，当增加到使MTF减小到0时，物的调制度V无论多大，像的调制度为0，这时光能量接收器感知不到像的结构，与此对应的空间频率称为光学系统的截至频率。
由MTF曲线还可以看出：无论用一个截至频率还是分变率极限，一个指标是不充分表征光学系统的成像性能，只能用整个曲线评价像质，如图所示，从截至频率fa0, fb0评价就不妥，应根据使用目的来权衡调制度和分本领的响度重要性。如电视摄像机镜头，它不需要很高的分辨本领，却要求对低调制度物和景物得到尽可能的丰富和对比度明显的像，为此以曲线a代表的镜头为好，因为它对低频的调制传递函数高；相反，如用于光刻镜头，由于它的目标是调制度高的黑白线条或图案，要求是要分辨本领尽可能的高，因此b曲线代表的镜头为宜。
2）光学传递函数和相干传递函数的关系
相干传递函数和光学传递函数分别描述同一系统采用相干和非相干照明的传递函数，两者都决定于光学系统的本身的物理特性，因此两者之间一定有联系。由（4.5.12）式和自相关定理FT{f(x,y)?f(x,y)}F*(x,h)F(x,h) 及Parseval 定理(见附录) 得到 FT?hI?xi,yi???
H?fx,fy??HI?fx,fy?HI?0,0????h?x,y?dxdyIiii??2i???x,y?FThIii??????H??,??H????,????d?d?*cc????（4.5.19）
????x,y?dxdyhIiiii2????Hc??,??d?d?2??因此，对同一系统来说，光学传递函数等于想干传递函数Hc的自相关归一化函数。这一结
2?论是在hI?xi,yi??h?xi,yi?的基础上导出的，所以，它对有像差系统和没有像差系统都
完全成立。
对于相干照明的衍射受限系统，由（4.5.4）可知，Hcfx,fy?P?difx,?dify，把它代人式(4.5.19)，得到
?????H?fx,fy????P??d?,?d??Hii???c???di?fx?????di?fy?????d?d?（4.5.20）
2??P??di?,?di??d?d???
第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性
令x??di?,y??di?，积分变量的替换不会影响积分结果，于是得H关系如下:
?f,f?与P?x,y?的
xyH?fx,fy????P?x,y?P?x??d???2???ifx,y??dify? （4.5.21）
??P?x,y?dxdy对于光瞳函数只有 1和0两个值的情况，分母中的P可以写成P。公式表明衍射受限系统的OTF是光瞳函数的自相关归一化函数。
研究式(4.5.21)可得到OTF的重要几何解释。一般情况下光瞳函数只有 1和0两个值，式中分母是光瞳的总面积 S0，如图 4.5.3(a)所示，分子代表中心位于??difx,??dify的经过平移的光瞳与原光瞳的重叠面积Sfx,fy，求衍射受限系统的OTF只不过是计算归一化重叠面积，即
2????H?f,f??xyS?fx,fy?S0 （4.5.22）
S0 0 y 0 y x ?difyx ?difx S?fx,fy? (a)光瞳总面积S0 （b）光瞳重叠面积S
图 4.5.3 衍射受限系统OTF的集合解释
如图4.5.3(b)所示，重叠面积取决于两个错开的光瞳的相对位置，也就是和频率fx,fy有关。对于简单几何形状的光瞳不难求出归一化重叠面积的数学表达式。对于复杂的光瞳，可用计算机计算在一系列分立频率上的OTF。
从上述的几何解释，不难了解衍射受限系统OTF的一些性质。 (1). H???f,f?是实的非负函数。因此衍射受限的非相干成像系统只改变各频率余弦分量
xy的对比，而不改变它们的相位，即只需考虑 MTF，而不必考虑PTF。
(2) H?0,0??1。当fx?fy?0时，两个光瞳完全重叠，归一化重叠面积为1，这正是OTF归一化的结果，这并不意味着物和像的平均(背景)光强相同。由于吸收、反射、散射及光阑挡光等原因，像面平均(背景)光强总要弱于物面光强。
但从对比度考虑，物、像方零频分量的对比度都是单位值，无所谓衰减，所以H?0,0??1。
y H?fx,fy? x
?dify
0 2fcutfx?difx
第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性
(a)方形光瞳的重叠面积 (b)方形光瞳的 OTF
(3) H(4) Hxxy图 4.5.4 方形光瞳衍射受限 OTF的计算
这一结论很容易从两个光瞳错开后重叠的面积小于完全重叠面?f,f??H?0,0?。
积得出。
?f,f?有一截止频率。当f,f足够大，两光瞳完全分离时，重叠面积为零。此时，
H?f,f?=0，即在截止频率所规定的范围之外，光学传递函数为零，像面上不出现这些
xyxyy频率成分。
例4.3 方形光瞳。衍射受限非相干成像系统的光瞳为边长 1的正方形，求其光学传递函数。 解 此时的光瞳函数可表示为
?x??y? P?x,y??rect??rect??
?l??l?显然光瞳总面积S0?l2，当P?x,y?在x、y方向分别位移??difx,??dify以后，得
P?x??difx,y??dify?，从图 4.5.4 (a)可以求出 P(x, y)和P?x??difx,y??dify?的
重叠面积Sfx,fy。由图可得
?????1??difxS?fx,fy????0?光学传函数为
??1??dify,,?fx?l?di,fy?l?di
其他
H?fx,fy??S?fx,fy?S0????fx??fy?? （4.5.23） ????2fx0??2fy0?式中fx0?fy0?fcut?1/?2?di?是同一系统采用相干照明的截至频率。非相干系统沿
fx和fy轴方向截至频率是2fcut?1/??di?，图4.5.4表示这一结果。
例4.4圆形光瞳。设圆形光瞳的直径为D，求此系统的光学传递函数。
解 光瞳的面积A=pD/4。由于圆的对称性，两光瞳沿任意方向错开相同距离的重叠面积都相等，因而光学传递函数也是圆对称的。这样，只要计算出某一方向(例如fx方向)的光学传递函数，绕垂直轴旋转一周就可得到频率空间内的分布了。如图4.5.5所示，当两个光瞳沿fx方向错开?difx后，其交叠面积为弓形面积的2倍，由几何公式可得交叠面积为 y
H(fx,fy) A
θ fy 0 x B 0 fx λdifx
(a)圆形光瞳的重叠面积
(b)圆形光瞳的OTF
2图4.5.5圆形光瞳的光学传递函数计算
第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性
p其中cosq=(ldifx)/D，在截至频率内
S(fx,0)=D2(q-sinqcosq)
S?fx,0?2???sin?cos??
?D2/4?截至频率满足ldifx=D，也就是两个圆中心距离大于止境D时，重叠面积为。这
HS0??fx,0??S?fx,0??种系统的相干传递函数的截至频率fcut=D/(2ldi)，显然光学传递函数的截至频率恰好又是2fcut，图4.5.5（b）给出了光瞳函数为圆域函数是H?fx,fy?的示意图。
H?f,f?在极坐标中的表达式为
xy?2????sin?cos??,??D/??di? （4.5.24） H???????0,其他?式中r=
fx2+fy2,cosq=ldifx/D
4.6 实际光学系统的传递函数
前面讨论衍射受限系统时没有考虑系统像差，但是，任何—个实际光学系统总是存在像
差的。根据波像差理论，像差的存在使得出瞳上的实际波前偏离理想球面波前，这一偏差是位相偏差引起的。因此，像差的存在要影响成像系统的频率特性。本节主要讨论像差对光学成像系统传递函数的影响。
1.广义光瞳函数
对于有像差的光学系统，为了应用衍射受限系统的研究结论，同时又能反映系统像差的影响，引入“广义光瞳函数”的概念。因为光学成像系统的像差使出射光瞳上的波前产生畸变，这相当于再衍射受限系统的出瞳上加了一个相位板，其上的位相分布取决于成像系统的波像差分布。如果用W(x,y)表示出射光瞳上的实际波前与理想波前的光程差，则出射光瞳的复振幅函数可表示为
P(x,y)=P(x,y)ejkW(x,y) （4.6.1）
式中P(x,y)是衍射受限成像系统的光瞳函数，P(x,y)就是广义光瞳函数，有了广义光瞳函数，就可以用它代替衍射受限系统的CTF和OTF公式中的P(x,y)，处理有像差光学成像系统的成像问题。
2．实际光学成像系统的相干传递函数
前面以讨论过，衍射受限成像系统的相干传递函数是光瞳函数P(x,y)的连续两次傅里叶变换，即等于频城变量的光瞳函数P(ldifx,ldify)。当系统存在像差时，只要用广义光瞳函数代替光瞳，便可得到实际成像系统的光学传递函数：
Hcldifx,ldify=Pldifx,ldify=Pldifx,ldifye
()()()jkW(ldifx,ldify) （4.6.2）
