?2x??42?t??222
把直线l的参数方程?代入x＋3y＝48，
?y?2t?2?化简得t－4t－8＝0，所以t1＋t2＝4，t1t2＝－8，
所以FA?FB?t1?t2?（t1?t2）?4t1t2?16?4?8?43．
22
x2y2??1，可设椭圆C上在第一象限内的任意一点M的坐标为（43cos?，（2）由椭圆C的方程
48164sinθ）（0???π）， 2所以内接矩形的面积S?83cos??8sin??323sin2?， 当??π时，面积S取得最大值323． 4【名师点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式??x??cos? ，而极坐标方程转化为直
?y??sin???2?x2?y2?2?，?cos?，角坐标方程的关键是利用公式?，后者也可以把极坐标方程变形，尽量产生y?tan??x??sin?以便转化．另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数?来表示动点坐标，
从而利用一元函数求与动点有关的最值问题．
11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中，直线l的参数方程为
?x??1?tcos?,（t为参数，0???π），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的长度??y?1?tsin?单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为?2?（1）当a?4． 21?sin?π时，写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程； 6（2）已知点P??11，?，设直线l与曲线C交于A，B两点，试确定PA?PB的取值范围．
x2y2?1??1；（2）?，1? 【答案】（1）x?3y?1?3?0，?42?2?【解析】（1）当a?π时，直线的参数方程为 l6
?π?3x??1?tcos,x??1?t，????62??． ?π?y?1?tsin?y?1?1t??6?2?消去参数t得x?3y?1?3?0． 由曲线C的极坐标方程为?2?222422，得???sin??4， ??21?sin?22x2y2??1； 将x?y??，及y??sin?代入得x?2y?4，即42（2）由直线l的参数方程为??x??1?tcos?, （t为参数，0???π），
?y?1?tsin?可知直线l是过点P（–1，1）且倾斜角为?的直线，
x2y2??1，所以易知点P（–1，1）在椭圆C内， 又由（1）知曲线C为椭圆42?x??1?tcos?,x2y2?1中，整理得 将? 代入?42?y?1?tsin??1?sin??t22?2?2sin??cos??t?1?0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2， 则t1?t2??1， 21?sin?1，
1?sin2?2所以PA?PB?t1t2?因为0???π，所以sin所以PA?PB?t1t2????01，?，
1?1??，1?， 2?1?sin??2??1?1?． 所以PA?PB的取值范围为?，2??【名师点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题．经过点P（x0，y0），倾斜角为α的直线
l的参数方程为??x?x0?tcos?（t为参数）．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，
?y?y0?tsin?
线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：（1）t0?t1?t2；（2）2PM?t0?t1?t2；（3）AB＝t2－t1；（4）PA·PB＝t1·t2． 212．【河南省信阳高级中学2018–2019学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系xOy中，以O为
极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为??2sin??2acos?；直（a?0）?2x??2?t??2线l的参数方程为?（t为参数）．直线l与曲线C分别交于M，N两点．
?y?2t?2?（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若点P的极坐标为?2，π?，PM?PN?52，求a的值．
【答案】（1）曲线C的直角坐标方程为：?x?a???y?1??a2?1，直线l的普通方程为y?x?2． （2）a?2．
【解析】（1）由??2sin??2acos??a?0?，得??2?sin??2a?cos??a?0?，
222所以曲线C的直角坐标方程为x?y?2y?2ax，
即?x?a???y?1??a2?1，直线l的普通方程为y?x?2．
2222?2x??2?t,??222（2）将直线l的参数方程?代入x?y?2y?2ax并化简、整理，
?y?2t?2?得t?32?2at?4a?4?0．因为直线l与曲线C交于M，N两点． 所以Δ?32?2a2????2?4?4a?4??0，解得a?1．
由根与系数的关系，得t1?t2?32?2a，t1t2?4a?4．
因为点P的直角坐标为??2，0?，在直线l上．所以PM?PN?t1?t2?32?2a?52， 解得a?2，此时满足a?0．且a?1，故a?2．
22【名师点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如cos??sin??1等三角恒等式）消去参
数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式
?x2?y2??2?x??cos??等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲,?y?y??sin????tan??x线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
13．【河南省豫南九校（中原名校）2017届高三下学期质量考评八数学】己知直线l的参数方程为?2?x?1?t?y?3?2t（t为参数），曲线C的极坐标方程为?sin??16cos??0，直线l与曲线C交于A、B两点，点P． （13，）（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）求
11?的值． PAPB2【答案】（1）y?2x?1，y?16x；（2）810． 35【解析】（1）直线l的参数方程为??x?1?t（t为参数），
?y?3?2t消去参数，可得直线l的普通方程y?2x?1，
曲线C的极坐标方程为ρsinθ?16cosθ?0，即ρsinθ?16ρcosθ?0， 曲线C的直角坐标方程为y?16x，
2222?5x?1?t??5（2）直线的参数方程改写为?（t为参数），
?y?3?25t?5?代入y?16x，t?24524535t?7?0，t1?t2?5，t1t2??， 54t?t11810??12?． PAPBt1t235?x??cos??【名师点睛】由直角坐标与极坐标互换公式?y??sin?，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标
?x2?y2??2?的相互转化．
