.
29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。
AFBECD
∵AB=DC AE=DF, CE=FB
CE+EF=EF+FB ∴△ABE=△CDF ∵∠DCB=∠ABF AB=DC BF=CE △ABF=△CDE ∴AF=DE
30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.
证明：连接EF ∵AB∥CD ∴∠B=∠C ∵M是BC中点 ∴BM=CM
在△BEM和△CFM中 BE=CF ∠B=∠C BM=CM
∴△BEM≌△CFM（SAS） ∴CF=BE 31．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．
.
.
∵AF=CE,FE=EF. ∴AE=CF. ∵DF//BE,
∴∠AEB=∠CFD（两直线平行，内错角相等） ∵BE=DF
∴：△ABE≌△CDF（SAS）
32.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AE＝AF。
D E A F B
连接BD； ∵AB=AD BC=D
∴∠ADB=∠ABD ∠CDB=∠ABD;两角相加，∠ADC=∠ABC； ∵BC=DC E\\F是中点 ∴DE=BF； ∵AB=AD DE=BF ∠ADC=∠ABC ∴AE=AF。
C33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．
DA125E6B34C
证明：
在△ADC，△ABC中
∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA ∴△ADC≌△ABC（两角加一边）
.
.
∵AB=AD，BC=CD 在△DEC与△BEC中
∠BCA=∠DCA，CE=CE，BC=CD ∴△DEC≌△BEC（两边夹一角） ∴∠DEC=∠BEC
34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF． ∵AD=DF ∴AC=DF ∵AB//DE ∴∠A=∠EDF 又∵BC//EF ∴∠F=∠BCA
∴△ABC≌△DEF（ASA）
35．已知：如图，AB=AC，BD?AC，CE?AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．
C F E
证明： ∵BD⊥AC ∴∠BDC=90°
.
D A
.
∵CE⊥AB ∴∠BEC=90° ∴∠BDC=∠BEC=90° ∵AB=AC ∴∠DCB=∠EBC ∴BC=BC
∴Rt△BDC≌Rt△BEC（AAS) ∴BE=CD
36、
如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：DE=DF．
A E B 证明：
∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠EAD=∠FAD ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠BFD=∠CFD=90° ∴∠AED与∠AFD=90° 在△AED与△AFD中 ∠EAD=∠FAD AD=AD ∠AED=∠AFD
D F C
∴△AED≌△AFD（AAS） ∴AE=AF
在△AEO与△AFO中 ∠EAO=∠FAO
.