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课时跟踪检测(二十六) 简单的三角恒等变换
一、题点全面练
1.
的值为( )
cos 10°－3sin 10°
B．－1 1D．－
2
2sin35°－1
2
2sin35°－1
2
A．1 1C. 2
－cos 70°1
解析：选D 原式＝＝＝－.
23?1?2sin 20°
2?cos 10°－sin 10°?
2?2?π?2m?2．(2019·成都模拟)已知tan α＝，tan?α＋?＝，则m＝( )
4?m3?A．－6或1 C．6
B．－1或6 D．1
mm3π?tan α＋122?解析：选A 由题意知，tan α＝，tan?α＋?＝＝，则＝，∴m＝－4?1－tan αm3mm?
1－
3
6或1，故选A.
π??π??3．已知2tan αsin α＝3，α∈?－，0?，则cos?α－?的值是( ) 6??2??A．0 C．1
B.2
2
＋1
1D. 2
2
2sinα
解析：选A 由2tan αsin α＝3，得＝3，
cos α即2cosα＋3cos α－2＝0， 1
∴cos α＝或cos α＝－2(舍去)．
2ππ∵－＜α＜0，∴α＝－，
23π???π?∴cos?α－?＝cos?－?＝0.
6???2?4．已知锐角α，β满足sin α＝A.3π 4
5310，cos β＝，则α＋β等于( ) 510B.π3π
或 44
2
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C.
π 4π
D．2kπ＋(k∈Z)
4
531025，cos β＝，且α，β为锐角，可知cos α＝，5105
解析：选C 由sin α＝sin β＝
10
， 10
253105102
故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，又0＜
5105102α＋β＜π，故α＋β＝π
4
.
5．已知sin α＝－4??α∈??3π，2??α＋β5??2π????，若cos β
＝2，则tan(α＋β)＝( A.6
1313
B.6
C．－613
D．－136
解析：选A ∵sin α＝－4?3π?35，α∈??2，2π??，∴cos α＝5. 由
α＋β
cos β
＝2，得sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]，
即65cos(α＋β)＝1365sin(α＋β)，故tan(α＋β)＝13. 6．若α∈?
?π?2，π???，且3cos 2α＝sin??π?4－α??
?
，则sin 2α的值为________．
解析：由3cos 2α＝sin?π??4－α???
，
得3(cos2
α－sin2
α)＝2
2
(cos α－sin α)， 又由α∈??π?2，π???
，可知cos α－sin α≠0， 于是3(cos α＋sin α)＝
2
2
， 所以1＋2sin αcos α＝1
18，
故sin 2α＝－17
18.
答案：－17
18
)
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π??sin?α＋?4???π?且2sin2α－sin 2
7．已知α∈?0，?，αcos α－3cosα＝0，则2?sin 2α＋cos 2α＋1?＝________.
解析：∵2sinα－sin αcos α－3cosα＝0， ∴(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，
2
2
?π?又α∈?0，?，sin α＋cos α＞0， 2??
∴2sin α＝3cos α， 又sinα＋cosα＝1， ∴cos α＝
2
3，sin α＝， 1313
2
2
π??sin?α＋?4??
∴ sin 2α＋cos 2α＋1
2
α＋cos α
2
222α＋cos α＋α－sinα226＝.
4cos α8
26
8
sin 3α13
＝，则tan 2α＝__________.
sin α5
＝
sin αcos 2α＋cos αsin 2α
sin α
＝ ＝
答案：
8．设α是第四象限角，若sin 3α解析：＝sin α
α＋2αsin α
1322
＝cos 2α＋2cosα＝4cosα－1＝，
592
解得cosα＝.
10
31010
因为α是第四象限角，所以cos α＝，sin α＝－，
101012tan α3
∴tan α＝－，tan 2α＝＝－. 2
31－tanα43
答案：－
4
9．已知函数f(x)＝cosx＋sin xcos x，x∈R.
2
?π?(1)求f??的值； ?6?
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3?π??απ?(2)若sin α＝，且α∈?，π?，求f?＋?. 5?2??224?ππ?π?2π
解：(1)f??＝cos＋sincos 666?6?＝?
33＋3?3?21
?＋2×2＝4. ?2?
1＋cos 2x12
(2)因为f(x)＝cosx＋sin xcos x＝＋sin 2x
22π?1112?
＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin?2x＋?，
4?2222?所以f?
?α＋π?＝1＋2sin?α＋π＋π?
??124??224?22??
?
?. ?
π?1122?13?＝＋sin?α＋?＝＋?sin α＋cos α3?22?222?23?π?又因为sin α＝，且α∈?，π?， 5?2?4
所以cos α＝－，
5所以f?＝
34??α＋π?＝1＋2?13
??×－×?
?224?22?2525?
10＋32－46
.
20
10．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，3)． (1)求sin 2α－tan α的值；
?π?(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝3f?－2x?－
?2?
2π??0，2f (x)在区间??上的值域．
3??
2
解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，3)， 133
∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
223∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－
333
＋＝－. 236
(2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，
π??π??2
∴g(x)＝3cos?－2x?－2cosx＝3sin 2x－1－cos 2x＝2sin?2x－?－1.
6??2??2π
∵0≤x≤，
3
