x的取值范围．【答案】由题意可得：B（2,2），C（0,2），将B、C坐标代入y=?得：c=2，b=
4323x?bx?c2，所以二次函数的解析式是y=?23x2+
43x+2 (2) 解?23x2+
43x+2=0，得：x1=3，
x2=-1，由图像可知：y>0时x的取值范围是-1＜x＜3
【点评】本题考查了二次函数解析式的求法及利用图象法求解一元二次不等式，渗透了数形结合思想．其中本题的解法将三个“二次”和谐地结合起来，突显二次函数的纽带作用，通过函数，将方程、不等式进行了综合考查．
例6、（2012黑龙江绥化）如图，二次函数y?ax2?4x?c的图像经过坐标原点，与x轴交与点A(-4，0)．（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P，满足S?AOP?8，请直接写出点P的坐标．
【解析】解：（1）把点A（-4,0）及原点（0,0）代入函数解析式，利用待定系数法求二次函?c?0?a??1数解析式解答；?解得所以，此二次函数的解析式为?2c?0a?（-4）-4?（-4）+c=0??y=-x2-4x；（2）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可．由已知条件得（2）∵点A的坐标为（-4，0）， ∴AO=4，设点P到x轴的距离为h，则S△AOP=12×4h=4，解得h=4， ① 当点P在x轴上方时，-x2-4x=4，解得x=-2，所以，点P的坐标为（-2，4）； ② 当点P在x轴下方时，-x2-4x=-4，解得x1=-2+22，x2=-2-22 所以，点P的坐标为（-2+22，-4）或（-2-22，-4）， 综上所述，点P的坐标是：（-2，4）、（-2+22，-4）、（-2-22，-4）． 2【答案】⑴y??x?4x ；⑵点P的坐标是：（-2,4）、（-2+22，-4）、（-2-22，-4）． 例7、（2012山东滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．（1）求抛物线y=ax+bx+c的解析式； （2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．
2
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【解析】（1）将A、O、B三点代入此抛物线求出抛物线的解析式即可。（2）求出此抛物线的对称轴以及对称轴的垂直平分线的方程，画出它们，由几何关系可求得AM+OM的最小值．解：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得
解这个方程组，得a=﹣，b=1，c=0所以解析式为y=﹣x2+x．
（2）由y=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，可得抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB∴OM=BM∴OM+AM=BM+AM连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小过点A作AN⊥x轴于点N，在Rt△ABN中，AB=因此OM+AM最小值为
．
=
=4
，
例8、(2012山东日照)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为(-3,0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）.（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD,交抛物线于点F,是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.
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解析：（1）由A（-3,0）,D(-2，-3)两点运用待定系数法可求；（2）先假设存在实数a使四边形BDFE是平行四边形，得到DF∥EB,由此用a表示F的坐标，代入二次函数解析式得关于a的一元二次方程，求解检验可得.
解： （1）将A（-3,0）,D(-2，-3)的坐标代入y=x2+bx+c得，
?9?3b?c?0?b?2， 解得：，∴y=x2+2x－3 由x2+2x－3=0， ???4?2b?c??3?c??3得： x1=-3，x2=1， ∴B的坐标是（1,0），设直线BD的解析式为y=kx+b,则 ?k?b?0?k?1，解得：?， ∴直线BD的解析式为y=x－1； ??2k?b??3b??1?? （2）∵直线BD的解析式是y=x－1，且EF∥BD,∴直线EF的解析式为：y=x－a. 若四边形BDFE是平行四边形，
则DF∥x轴,∴D、F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为-3.
?y?x2?2x?3由?，得y2+（2a+1）y+a2+2a-3=0， ?y?x?a解得：y=
??2a???213?4a. 令
??2a???213?4a=－3，
解得：a1=1，a2=3. 当a=1时，E点的坐标（1，0），这与B点重合，舍去； ∴当a=3时，E点的坐标（3，0），符合题意.∴存在实数a=3，使四边形BDFE是
平行四边形.点评：本题考查待定系数法、平行四边形的性质和一元二次方程的解法，解题
的关键是用a表示F的坐标，数形结合是解决本题的重要思想思想.
经典难题1、（2012甘肃兰州28）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的
负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y?23x?bx?c经过点B，且顶点在直线x?252上.（1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连结BD，已知在对称轴上存在一点P是的△PBD的周长最小，求出P点的坐标；（4）在（2）、（3）条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、
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B不重合），过点M作MN∥BD交x轴与点N，连结PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围。S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由。
第28题
解析：（1）根据抛物线y?2 ，以及顶点在直线x?x?bx?c经过点B（0，4）2上，得出23b，c即可；（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可．（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x?525时，求出y即可；（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而1得出OM?ON，得到ON?t，进而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可． OBOD2解：（1）∵抛物线y?b??10323（0,4），∴c=4∵顶点在直线x?x?bx?c经过B23x?2252上，∴?b2a?52，∴所求的函数关系式为：y?1032x?4 2（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=OA?OB=5 ∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5， ∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）， 当x=5时，y? 当x=2时，y?2323?5??2?22103103?5?4?4 ?2?4?0 ∴点C和点D都在所求抛物线上； （3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点， ?5k?b?448设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，则?，解得：k?，b?? 33?2k?b?0∴y?43x?83当x?52时，y?43?52?83?23， ∴P(OMOB?ON52,23t) ?ON（4）∵MN∥BD， ∴△OMN∽△OBD，∴设对称轴交x轴于点F，则
t 422112555S梯形PFOM=(PF?OM)?OF?(?t)??t? 223246OD8
,即，得ON?1
