第四讲 二次函数综合问题
一.教学目标：
1.掌握二次函数解析式的应用； 2.学会建立二次函数模型解决问题； 3.掌握二次函数中动点综合问题。
二．教学重难点
1.建立二次函数模型解决问题 2.二次函数中动点综合问题
三．教学内容：考点速记：
一、二次函数概念 1．二次函数的概念
b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数．这里需要强调：和一般地，形如 （a，一元二次方程类似，二次项系数a?0，而 可以为零． 2．二次函数y?ax2?bx?c的结构特征
（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 ． b，c是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项． （2）a，二、二次函数图象的平移 1．平移步骤 方法一：
①?? 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；②保持抛物线 的形
k?处，具体平移方法如下：状不变，将其顶点平移到?h，[来源学&科&网]
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方法二：
①y?ax2?bx?c沿y轴平移：向上（下）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成 （或 ）；②y?ax2?bx?c沿轴平移：向左（右）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成 （或 ）． 2．平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c的比较
从解析式上看，y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，b?4ac?b2?即y?a?x???，其中h= k= ．
2a4a??222四、二次函数y?ax2?bx?c图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点?0，c?、以及?0，c?关于对称轴对称的点?2h，c?、与x轴的交点?x1，0?，?x2，0?（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．
画草图时应抓住以下几点： ， ， ， ， ． 五、二次函数y?ax2?bx?c的性质
1．当a?0时，开口 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ．当x??当x??b时， ；2abb时， ；当x??时，y有最小值 ． 2a2a2．当a?0时，开口 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ．当x??时， ；当x??六、二次函数解析式的表示方法
1．一般式： （a，b，c为常数，a?0）； 2．顶点式： （a，h，k为常数，a?0）；
3．两根式： （a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）．
b2abb时， ；当x??时，y有最大值 ． 2a2a注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的
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这三种形式可以互化．
七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1．二次项系数a
二次函数y?ax2?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．
（1）当a?0时，抛物线开口 ，a的值 ，开口 ，反之a的值越小，开口越大； （2）当a?0时，抛物线开口 ，a的值 ，开口 ，反之a的值越大，开口越大． 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： 1．已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2．已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3．已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 2．已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 八、二次函数与一元二次方程
1．二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）
一元二次方程ax2?bx?c?0是二次函数y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况． 图象与x轴的交点个数：
（1）当 时，图象与x轴交于两点A?x1，0?，B?x2，0?(x1?x2)，其中的x1，x2是一元二b2?4ac次方程ax?bx?c?0?a?0?的两根．这两点间的距离AB?x2?x1?．
a2（2）当??0时，图象与x轴只有一个交点． （3）当??0时，图象与x轴没有交点．
①当a?0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y?0， ②当a?0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y?0． 2．抛物线y?ax2?bx?c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)． 3．二次函数常用解题方法总结
（1）求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程．
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（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式．
（3）根据图象的位置判断二次函数y?ax2?bx?c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合．
（4）二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标．
（5）与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2?bx?c(a?0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a?0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系．
??0 抛物线与x轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 一元二次方程有两个相等的实数根 ??0 抛物线与x轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 ??0 抛物线与x轴无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. 核心考点二次函数综合
二次函数综合题是广东省中考每年必考，且均在解答题考查，二次函数综合题作为每年广东省中招考试的压轴题，一般是二次函数、一次函数与几何图形的综合应用，综合性比较强．本专题常见的类型有：线段问题、面积问题、特殊图形的判定问题，其中在面积问题、特殊图形的判定问题中常伴有点的存在性问题．
二次函数综合题中的线段问题，常涉及到的类型有：（1）直接求线段的长或用含字母的代数式表示线段的长；（2）根据题中给出的线段关系求相应字母的值；（3）求三角形或四边形周长的最值.其中求三角形或四边形周长的最值，一般要将其转化为求某线段长的最值或利用两点之间线段最短来求最值．
二次函数综合题的面积问题时，关键是建立合适的函数模型，将面积问题和二次函数的最值问题相结合．此类型题考查方式比较灵活，经常在三角形、四边形等几何图形中进行变换.解题时需要在熟练掌握二次函数图象与性质的基础上，运用数形结合和分类讨论思想，将面积问题转化为函数关系问题．解题技巧一般是过特殊点作x轴或y轴的垂线，将所求面积进行分割，从而将面积问题转化为线段问题，建立未知量和已知变量之间的联系，通过二次函数的增减性得到相应的最值．
特殊图形的判定问题，常与点的存在性问题相结合，解决此类问题的关键是要熟练掌握特殊图形的判定方法及性质，如：对边平行且相等的四边形是平行四边形，等边三角形的三边相等.解决此类问题最常用的方法是假设法，一般先假设存在满足题意的点，根据特殊图形的性质画出草图，确定点的位置，然后根
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