令g(x)?x?x?222(t?1)2，从而问题转化为求方程g(x)?x2?x?(t?1)2=0 33在(?2,t)上的解的个数， …………………………………………12分 因为g(?2)?6?22(t?1)2??(t?2)(t?4)，3321g(t)?t(t?1)?(t?1)2?(t?2)(t?1)，
33所以当1?t?4时，g(?2)?0且g(t)?0，但由于g(0)??所以g(x)?0在(?2,t)上有两解． 即，满足
2(t?1)2?0， 3f?(x0)2?(t?1)2的x0的个数为2． ……………………………………14分 x0e321．已知曲线C:xy?1 ，过C上一点An(xn,yn)作一斜率kn??于另一点An?1(xn?1,yn?1)． （1）求xn与xn?1之间的关系式； （2）求证：数列{1的直线交曲线Cxn?211?}是等比数列；
xn?23（3）求证：(?1)x1?(?1)2x2?(?1)3x3??(?1)nxn?1(n?N*) 解：（1）直线方程为y?yn??1(x?xn),因为直线过点An?1(xn?1,yn?1)， xn?2?yn?1?yn??1111(xn?1?xn)????(xn?1?xn)?xnxn?1?xn?2． xn?2xn?1xnxn?2……………………………………………4分
（2）设an?11?,由（1）得 xn?23an?1?111111?????2(?)??2an
xn?1?23xn?23xn?23?2xn又a1??2?0,故{11?}是等比数列； ……………………8分 xn?23
（3）由（2）得an?(?2)?xn?2?n11(?2)?3n
?(?1)nxn?(?1)n?2?112n?(?1)n?3 ……………………10分
当n为偶数时，则
(?1)n?1112n?2n?12n?2n?1xn?1?(?1)xn??nn?1?n?1?n
11222?22n?2n?1??2n?1?39n?(?1)x1?(?1)2x2?(?1)3x3?...?(?1)nxn?231111?2?...?n?1?n?1；…………12分 2222nn当n为奇数时，则(?1)x1?(?1)x2?(?1)x3?...?(?1)xn?1?(?1)xn 而xn?2?12n?13?0,所以1?(?1)nxn?1?xn?1
?(?1)x1?(?1)2x2?(?1)3x3?...?(?1)nxn?1
综上所述，当n?N*时，(?1)x1?(?1)2x2?(?1)3x3??(?1)nxn?1成立．………14分
