多元函数微分学（一） 多元函数基本概念 偏导数 全微分
1、求下列极限 （1）
lim1?xy(x,y)?(0,1)x2?y2 =1
（2）
(x,ylimxy)?(0,0)xy?1?1 =2
（3）
limsin(xy)(x,y)?(0,1)x? 1
2、函数z?ln(y2?2x?1)的定义域为.
答案:?(x,y)y2?2x?1?0?
3、设z?cos(x2y)，则dz?.
答案: ?2xysin(x2y)dx?x2sin(x2y)dy 4、设f?x,y??x2y3，则df?1,2??.
答案: 16dx?12dy
、设二元函数z?eycos(x?y)，则
?25z?x?y?. 答案:?eysin(x?y)?eycos(x?y)
6、设函数z?f?x,y?在P0处可微，则f?x,y?在P0处下列结论中不正确的是（A、连续B、偏导数存在C、偏导数连续D、切平面存在 答案： C
7、函数z?f(x,y)在点（x0,y0）处可微的充分条件是函数在该点处（ A、有极限B、连续C、偏导数存在D、有连续的偏导数 答案： D
8、函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处偏导数存在是它在该点可微的（ A、必要而非充分条件 B、充分而非必要条件 C、充分必要条件 D、既非充分又非必要条件 答案： A
）．）． ．
）
9、函数z?f(x,y)在(x0,y0)的偏导数fx,fy均存在，则有（ ）． A、z?f(x,y)在(x0,y0)有定义 B、z?f(x,y)在(x0,y0)存在极限 C、z?f(x,y)在(x0,y0)连续 D、z?f(x,y)在(x0,y0)可微 答案： A
x?ey,求?210、设zz?x?y
?zx解：?x?ey1y3分 ?2zxx?eyx1?x?y(?y3)?eyy26分 11、求当x?1,y?1,?x?0.15,?y?0.1时，函数z?exy的全增量和全微分．
解：?z?z(x??x,y??y)?z(x,y)?e1.265?e 2分
?z?xx?1?e ，
?z?e 3y?1?yx?1y?1dz?e?0.15?e?0.1?0.25e 512、设f(x,y)?ln???xx???y???，求此函数在点P0(1,1)处的全微分. 解：
?f1??x??1?1???1， x?x??y??xy?f?1??yx?x????x?1y2?????y2?y 2y在给定点P0(1,1)处，两偏导数均连续，故该函数在此点可微分. 又由于
?f11?x??1,?f(1,1)x(1,1)?y??2(1,1)y?y??1(1,1)2， 4故所求全微分为df?dx?1(1,1)2dy
多元函数微分学（二） 二重积分
分
分
分 分
1、求
323(x?3xy?y)d?，其中D是矩形闭区域：0?x?1，0?y?1 。 ??D11解：
323323(x?3xy?y)d??dy(x?3xy?y)dx ????D00?x4?????x3y?y3x?dy 0?4?011?yy2y4??????
4?0?42?1
2、求
D1??(3x?2y)d?，其中D是由两坐标轴及直线x?y?2所围成的闭区域 ． ??(3x?2y)d???dx?D022?x0解：
2(3x?2y)dy
2????3xy?y?0dx 0?2?x??(4?2x?2x2)dx
02?20 33、计算
??xyd?，其中D是由直线y?1,x?2,y?x所围成的闭区域．
D21解：
??xyd???Ddx?xydy
1x??x?12ydx 212x???21x3x(?)dx 229 84、计算
??xDD2yd?，其中D是由直线x?2,y?x及x轴所围成的闭区域．
2422x1622ydx?xydy??x?dx??dx?
0002520解：
??xyd???x2x0多元函数微分学（二）
复合函数、隐函数求导 方向导数、梯度 曲面的切平面与法线
1、设z?z(x,y)由x2z?xy?ez?0所确定，求解：设F(x,y,z)?x2z?xy?ez
?z. ?xFx?2xz?yFz?x2?ez
F?z2xz?y ??x??2z?xFyx?e2、已知yz?zx?xy?1，确定的z?z(x,y)，求dz． 解：设F?yz?zx?xy?1
FyF?zz?y?zz?x??x?? ?????xFzy?x?yFzy?xdz??z?zz?yz?xdx?dy??dx?dy ?x?yy?xy?xdz. dt3x?2y3、设z?e，而x?sint,y?t，求
解：dz??zdx?zdy ??xdt?ydt?ex?2ycost?ex?2y(?2)?3t2
?esint?2t(cost?6t2)
224、函数z?ln(x?y)在点(1,1)处最大方向导数值为2.
35、由z?3xyz?a（a是非零常数）所确定的隐函数z?f(x,y)的偏导数
33?z1?.
?x(0,1,a)a6、求曲面x?y?3z?0上点(2,1,1)处的切平面方程及法线方程. 解：法向向量为：n?(4,?2,?3)
平面方程为： 4x?2y?3z?3?0 直线方程为：
22x?2y?1z?1?? 4?2?3
